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sur la courbe G, il en resulte que si on resolvait les deux 

 systemes d'equations (12, 13, 14) et (16, 17, 18) par rap- 

 port aux inconnues a, 6, c, on obtiendrait & solutions com- 

 munes k ces systemes. Done chacune de ces k solutions 

 substituees respectivement dans les equations (11) et (lo) 

 conduirait a deux equations en p, d'un certain degre m, 

 qui seraient identiquement les memes. Celte circonstance 

 prouve evidemraent que les deux lieux difjferents (A) et (B) 

 sont rencontres par une droite arbitraire en m.k points 

 communs; done ces deux lieux ont necessaireraent en 

 commun une surface d'ordre m.k, ce qui prouve bien 

 qu'ils se decomposent. 



ExEMPLE. — On a un exemple interessant de la singu- 

 larity que je viens de signaler en considerant la surface 

 definiepar le systeme (E) du paragraphe II. Voici comment 

 on pent s'en rendre compte : 



On sait que les premieres polaires de deux points quel- 

 conques d'une surface aflfectee d'une ligne multiple G, con- 

 tiennent toutes les deux celte ligne multiple. Done I'inler- 

 section de deux premieres polaires quelconques se compose 

 de G et d'une courbe complementaire H qui rencontre, ch 

 general, la courbe G en un certain nombre k de points qui 

 sont tous variables k moins que cette courbe G n'ail des 

 points multiples isoles. 



La courbe complementaire H etanl ici representee par 

 les equations (18, 19), il en resulte bien que le systeme (E) 

 verifie les conditions exig^es. 



Remarque I. — II est tres-iraportant d'observer que, de 

 Tensemble des raisonnements qui precedent resulte, en 

 particulier, la demonstration de ce theoreme si connu, 

 dont on n'avait pas de demonstration analytique : 



Th^obeme. — L'ordre de la surface polaire reciproque 

 2"" s^RiE , tome xLVir. 1 5 



