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Stir Veliminalion (qualrierae Note); par M. P. Mansion, 

 professeur 'a TUniversile tie Gand. 



i. Preliminaires. Dans nos trois Notes precedenles, 

 nous avons etabli, sous differenles formes, les conditions 

 necessaires et suflisantes pour que les deOx equations 

 algebriques aient un certain nombre de racines communes. 

 Pour acbever d'esquisser la iheorie de reliminalion, nous 

 allons montrer comment les principes de la nouvelle me- 

 ihode exposee dans notre premiere Note, permettent de 

 irouver, de la maniere la plus nalurelle et la plus directe, 

 I'equalion aux racines communes et les equations aux 

 racines non communes, tant en parlant de la resultanle 

 de Sylvester qu'en partant de celle de Caucliy. Jusqu'a 

 present, les auteurs qui ont fait connaitre ces equations 

 se sont contenles de prouver, a posteriori, qu'elles ont 

 bien pour racines, les unes, les racines communes, les 

 autres, les racines non communes, sans indiquer par quelle 

 voie logique ils y avaient ele conduits. 



Chemin faisant, nous rencontrons quelques theoremes 

 remarquables sur certains determinants fonctionnels; I'un 

 d'eux a etedemontre, en 1878, d'une maniere assez peni- 

 ble, par M. Garbieri, dans un travail que nous avons cite 

 dans notre premiere Note. 



Pour abreger, nous considerons encore deux equations ; 



= c/,{x-a){«-3)(x--r)(x-.l(x-.)=(). 

 B^^x) = B = &0 -♦- ^.x + ••• + 64X* 



= 6,(x-a){x-p)(x-r)(x-!;]0, 



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