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 les coordonnees de ces points verifienl toujours les equa- 

 tions {% 3) et cela quelles que soient les valeurs aitribuees 

 a a et [3. Par \h, il elait naturel de penser, et c'esl 1^, 

 cioyons-nous, Tune des deux difficultes qui avaient laisse 

 jusqu'ici sans solution le probleme dont I'enonce est en 

 lete de ce chapitre, que la recherche analytique des points 

 de contact des tangentes, issues d'un point donne (M), a 

 tout lieu defini par k equations algebriques,devait /owyours 

 comprendre, par la nature meme du probleme, la deter- 

 mination de tons les points multiples de ce lieu.Or,il n'en 

 est rien, et il est meme facile de prouver si Ton suppose, ce 

 qui a reellement lieu dans une infinite d'applications, la 

 non-existence de points multiples de la seconde classe, que 

 les points multiples du lieu ne jouent aucun role dans le 

 probleme en question. 



Dans celte demonstration, je me bornefai encore au cas 

 de A- = 3, mais il est bien entendu qu'elle est entierement 



Considerons le lieu delini par les equations 



\i:,{x, y,<,„ 0.^1=^0, .... (G) 

 Nous savons que I'equation de la tangente, en un point 

 -, y, «i, «2) fl« ce lieu, est representee par 

 (X - X) . P (x, y, a„ a,) + (Y - ./) . Q (x, ;;, «., cu) = 0. (7) 

 JNous savons aussi que x\y\ a'^, a\ etant les elements 

 ui determinent un point multiple de la premiere classe, 

 es elements ne verilieut generalement pas les equa- 



ls) 



