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 les developpements precedents enseignent a determiner 

 le nombre des solutions en (a, b) pour lesquellcs lescourbes 

 representees par les deux premieres equations sont dou~ 

 blement tangenles. 



Nous engageons le lecleur a developper ces solutions 

 en supposant plus parliculierement que I'equalion (5) se 

 reduit a 



ax + by -^i=0, (5) 



ou a 



Remarque. — II est tres-important d'observer que si 

 i'on considere a, 6 comme coordonnees courantes et a;, y 

 comme des parametres a eliminer, les equations (2, 3, 4) 

 delinissent I'enveloppe des courbes representees par (5), en 

 supposant les parametres x, y lies par la relation (2). Cette 

 simple remarque permel d'obtenir d'une maniere direcle 

 fort simple le nombre des tangentes doubles de la courbe 

 representee par (2); de plus, comme par cette voie on se 

 fonde uniquement sur la relation 



Npd = i (^'« — N,, - N, — 3N^), 



on est conduit de la sorle a una demonstration nouvelle de 

 la troisieme formuie de Pliicker, la seule difficile k etablir, 

 et cela en s'appuyant seulement sur la premiere de ces 

 celebres formules. 



Troisieme probleme. — Trouver le nombre des solutions 



