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Dans la première partie de son Mémoire, l’auteur 
montre qu’au moyen de l'algorithme isobare (5), on peut 
exprimer aisément la loi de récurrence d'un grand nombre 
de séries célèbres, celles qui représentent e”, sin x, cos x, 
snx, VA — x + x?. La clef est, pour les trois premiers | 
cas, assez compliquée ; on pose, en effet, ọ (n) = 2" — 2, . 
— 2" (2n — 1), 2 (2° — 1); pour le cinquième, on a. 
simplement ọ (n)— — 2; mais pour snx, la clef est d’une 
forme plus générale que dans la relation (3); on doit poser 
Àn? (n) =A (Aa Sa Aa (A), A Tr A,-2(A)e + À, (A); 
et ọ (n) = constante x (2n — 1) (2n — 9). C'est là un 
algorithme d'ordre supérieur dont M. de Longchamps se 
contente de donner en passant un exemple, pour en faire 
pressentir l’utilité possible. 
Tout le reste du mémoire est consacré à l'étude plus 
détaillée du cas où la clef est linéaire, de la forme 
p(n)= an + b. En posant q(n) — 2n — 1, on trouve . 
les développements de tangx et Thx en série; en fai- 
sant ọ (ñn) = 2n + 1, on obtient ceux de xcotx et xCothx. 
On en déduit, au moyen d'identités connues, les séries qui 
représentent xcosécx, sécx, qui correspondent à des clefs 
beaucoup moins simples, où entrent des exponentielles. 
Tous les coefficients de ces développements s'expriment, - 
comme on le sait, au moyen des nombres de Bernoulli, 
multipliés par une fonction de leur rang n; l’auteur, 
à cause de celle circonstance, les appelle pseudo-bernoul- 
liens, el ces séries correspondantes, fonction pseudo- 
bernoulliennes. 
Dans la seconde partie du Mémoire, qui est relative à ces 
fonctions pseudo-bernoulliennes, l'auteur, comme on le 
