﻿Construction 
  des 
  Kreises 
  und 
  der 
  Ellipse. 
  37 
  

  

  Verfahren 
  gefundenen 
  Punkte 
  auch 
  wirklich 
  Ellipsenpunkte 
  sind. 
  

   Es 
  lässt 
  sich 
  hierbei 
  der 
  Beweis 
  theils 
  anschaulich, 
  theils 
  rein 
  

   mathematisch 
  führen. 
  

  

  I. 
  

  

  Da 
  FO=EO=BO 
  gemacht 
  wurde, 
  so 
  ist 
  Fein 
  Punkt 
  des 
  mit 
  

   dem 
  Halbmesser 
  OB 
  beschriebenen, 
  also 
  desjenigen 
  Kreises, 
  aus 
  

   welchem 
  die 
  Ellipse 
  ABCD 
  durch 
  die 
  Drehung 
  um 
  AB 
  entstanden 
  

   gedacht 
  wird. 
  Ist 
  nun 
  irgend 
  ein 
  Punkt, 
  z. 
  B. 
  m 
  mit 
  F 
  durch 
  eine 
  

   Gerade 
  verbunden, 
  so 
  hat 
  diese 
  Linie, 
  wenn 
  AB 
  als 
  Drehungsaxe 
  an- 
  

   genommen 
  wird, 
  den 
  fixen 
  Punkt 
  a 
  ; 
  es 
  wird 
  daher 
  durch 
  diesen 
  

   Punkt 
  die 
  Lage 
  der 
  Linie 
  Fm 
  nach 
  der 
  Drehung 
  bestimmt. 
  Kommt 
  

   z. 
  B. 
  der 
  Punkt 
  F 
  nach 
  D, 
  so 
  wird 
  die 
  Gerade 
  Fm 
  in 
  die 
  Lage 
  DJ 
  

   gelangen; 
  es 
  ist 
  also 
  der 
  Punkt 
  m 
  in 
  der 
  Geraden 
  DJ, 
  er 
  liegt 
  

   aber 
  auch 
  in 
  der 
  Verticalen 
  mm', 
  also 
  im 
  Durchschnittspunkte 
  dieser 
  

   zwei 
  Geraden, 
  d. 
  i. 
  in 
  J, 
  folglich 
  ist 
  der 
  Punkt 
  / 
  ein 
  Punkt 
  der 
  Ellipse, 
  

   w. 
  z. 
  b. 
  w. 
  

  

  Was 
  nun 
  von 
  diesem 
  Punkte 
  gilt, 
  das 
  gilt 
  auch 
  von 
  jedem 
  andern, 
  

   da 
  m 
  willkürlich 
  angenommen 
  wurde; 
  oder: 
  

  

  II. 
  

  

  Da 
  mm' 
  \\ 
  EF 
  ist, 
  so 
  findet 
  man 
  dass 
  das 
  Am' 
  lacoDOoc, 
  und 
  

   das 
  Amm 
  acKiFO 
  a; 
  es 
  gelten 
  daher 
  folgende 
  zwei 
  Proportionen: 
  

  

  1) 
  DO 
  :Oa 
  = 
  I 
  m' 
  : 
  m' 
  « 
  

   und 
  2) 
  FO 
  \ 
  Ool 
  = 
  mm': 
  m'a, 
  

  

  oder 
  wenn 
  der 
  Kürze 
  wegen 
  0«=//, 
  m' 
  a 
  = 
  v, 
  ferner 
  bekannter 
  

   Weise 
  

  

  AO 
  = 
  a, 
  DO 
  = 
  b 
  

   und 
  

  

  Om! 
  = 
  x, 
  Im' 
  = 
  y 
  

   gesetzt, 
  sodann 
  diese 
  Werthe 
  in 
  die 
  zwei 
  obigen 
  Proportionen 
  sub- 
  

   stituirt 
  werden. 
  

  

  1) 
  b 
  :,a 
  = 
  y 
  : 
  v 
  

  

  2) 
  a 
  : 
  fi 
  = 
  mm' 
  : 
  v, 
  

   oder 
  bruchweise 
  geschrieben 
  : 
  

  

  ^=^ 
  (i) 
  

  

  a 
  mm 
  

  

  7 
  ~ 
  v 
  

  

  OD; 
  

  

  