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  Fia 
  Ik 
  o 
  wsk 
  i. 
  

  

  und 
  anderseits 
  den 
  Punkt 
  n' 
  in 
  derselben 
  u. 
  s. 
  w. 
  Werden 
  alsdann 
  

   aus 
  m 
  nach 
  links 
  oben, 
  und 
  aus 
  m' 
  nach 
  rechts 
  unten 
  zu 
  der 
  Diagonale 
  

   EG 
  Parallele 
  gezogen, 
  so 
  wird 
  durch 
  die 
  erste 
  die 
  Ordinate 
  MM' 
  

   in 
  m" 
  und 
  durch 
  die 
  zweite 
  Parallele 
  dieVerlängerung 
  dieser 
  Ordinate 
  

   unterhalb 
  der 
  Axe 
  in 
  m'" 
  geschnitten; 
  und 
  jeder 
  dieser 
  zwei 
  Punkte 
  

   ist 
  ein 
  Punkt 
  der 
  in 
  das 
  Rechteck 
  EFGH 
  einzuschreibenden 
  Ellipse. 
  

  

  Beweis. 
  

   Vergleicht 
  man 
  die 
  durch 
  diese 
  Construction 
  entstandenen 
  Drei- 
  

   ecke 
  M'mm", 
  N'nn" 
  u. 
  s. 
  w. 
  mit 
  dem 
  Dreiecke 
  EFG, 
  so 
  findet 
  man, 
  

   dass 
  sie 
  mit 
  einander 
  ähnlich 
  sind, 
  indem 
  die 
  homologen 
  Seiten 
  zu 
  ein- 
  

   ander 
  parallel 
  sind; 
  es 
  ist 
  nämlich 
  EF 
  || 
  M'm, 
  M'm" 
  \\ 
  FG,mm" 
  || 
  EG 
  

   u. 
  s. 
  w. 
  Man 
  kann 
  daher 
  folgende 
  Proportion 
  aufstellen 
  : 
  

  

  M'm" 
  : 
  M'm 
  = 
  N'n" 
  : 
  N'n=P'p" 
  : 
  P'p=FG 
  : 
  EF, 
  

  

  und 
  da 
  CD=FG 
  undEF=AB 
  ist, 
  so 
  hat 
  man 
  durch 
  Substitution 
  

  

  Mm" 
  : 
  Mm 
  =N'n" 
  : 
  N'n 
  = 
  P'p" 
  : 
  P'p 
  = 
  CD 
  : 
  AB, 
  also 
  wenn 
  

  

  man 
  nur 
  die 
  zwei 
  Dreiecke 
  M'mm" 
  und 
  EFG 
  mit 
  einander 
  vergleicht: 
  

  

  M'm'' 
  :M'm 
  = 
  FG: 
  EF 
  oder 
  

  

  M'm" 
  : 
  M'm=CD 
  : 
  AB 
  (I). 
  

  

  Setzen 
  wir 
  nun 
  der 
  Kürze 
  wegen 
  

  

  MO 
  = 
  x 
  und 
  M'm" 
  = 
  y, 
  

   ferner 
  AB 
  = 
  2a 
  und 
  CD 
  = 
  2b, 
  

  

  so 
  brauchen 
  wir 
  nur 
  noch 
  die 
  M'm, 
  welche 
  nach 
  der 
  Construction 
  

   gleich 
  M'M 
  ist, 
  durch 
  Rechnung 
  zu 
  finden; 
  denken 
  wir 
  uns 
  also 
  zu 
  

   diesem 
  Behufe 
  die 
  MO 
  gezogen, 
  so 
  haben 
  wir: 
  

  

  MT 
  = 
  M'M 
  + 
  M' 
  0; 
  

   und 
  da 
  MO 
  = 
  BO, 
  und 
  M'M 
  = 
  Mm 
  

  

  ist, 
  ferner 
  BO 
  =a 
  und 
  M'0 
  = 
  x 
  

  

  gesetzt 
  wurde, 
  so 
  folgt: 
  

  

  M'M= 
  V 
  V 
  — 
  x 
  2 
  = 
  M'm. 
  

   Substituirt 
  man 
  diese 
  Werthe 
  in 
  die 
  obige 
  Gleichung 
  (I), 
  so 
  

   erhält 
  man 
  : 
  

  

  y 
  : 
  V 
  a* 
  — 
  w*=--2b 
  :2a 
  = 
  b 
  : 
  a 
  

   und 
  hieraus 
  ay 
  = 
  b 
  V 
  a 
  % 
  — 
  x% 
  

  

  welche 
  Gleichung 
  beiderseits 
  quadrirt 
  sofort 
  gibt 
  : 
  

  

  a 
  2 
  yi^b* 
  (a* 
  — 
  x 
  2 
  ) 
  = 
  a* 
  b*—b 
  z 
  x* 
  , 
  

   daher 
  b 
  2 
  x 
  z 
  + 
  a 
  z 
  y* 
  = 
  a* 
  b* 
  

  

  