﻿Construction 
  des 
  Kreises 
  und 
  der 
  Ellipse. 
  J) 
  \ 
  

  

  Beweis. 
  

  

  Zum 
  Behufe 
  des 
  Beweises 
  muss 
  man 
  entweder 
  die 
  Axen 
  mit 
  

   einander 
  oder 
  die 
  Abscisse 
  mit 
  der 
  Ordinate 
  verwechseln 
  , 
  was 
  auch 
  

   ganz 
  richtig 
  ist; 
  denn 
  wenn 
  man 
  sich 
  die 
  in 
  das 
  Parallelogramm 
  

   einzuzeichnende 
  Ellipse 
  (Fig. 
  40) 
  als 
  das 
  Bild 
  des 
  aus 
  mit 
  OB 
  

   beschriebenen 
  Kreises 
  vorstellt, 
  so 
  ist 
  es 
  nichts 
  anderes, 
  als 
  ein 
  

   verzerrtes 
  Bild, 
  beziehungsweise 
  der 
  kleinen 
  Axe, 
  in 
  welchem 
  Bilde 
  

   die 
  kleine 
  Axe 
  nicht 
  kleiner, 
  sondern 
  grösser 
  erscheint. 
  

  

  Man 
  muss 
  also 
  dann 
  JK 
  = 
  KN' 
  setzen, 
  welches 
  perspectivisch 
  

   richtig 
  ist, 
  wenn 
  das 
  Auge 
  des 
  Beobachters 
  in 
  unendlicher 
  Entfer- 
  

   nung 
  angenommen 
  wird. 
  

  

  Man 
  kann 
  aber 
  den 
  Beweis 
  für 
  die 
  Richtigkeit 
  dieser 
  Con- 
  

   struction 
  auch 
  auf 
  folgende 
  Art 
  führen 
  : 
  

  

  Da 
  das 
  Dreieck 
  KLN' 
  cv> 
  HGF 
  ist, 
  so 
  findet 
  folgende 
  Propor- 
  

   tion 
  Statt: 
  

  

  LK 
  : 
  N'K 
  = 
  HG 
  : 
  FG, 
  

   es 
  ist 
  aber 
  HG 
  = 
  AB 
  

   und 
  FG 
  = 
  CD, 
  

   also 
  LK 
  : 
  N'K 
  = 
  AB 
  : 
  CD 
  O). 
  

  

  Setzen 
  wir 
  der 
  Kürze 
  wegen 
  : 
  

  

  HG 
  = 
  AB 
  = 
  2b 
  

   FG 
  = 
  CD 
  = 
  2a 
  

   und 
  nehmen 
  den 
  Anfangspunkt 
  derCoordinaten 
  im 
  Mittelpunkte 
  an, 
  

   so 
  wird, 
  wenn 
  man 
  sich 
  durch 
  iV'eine 
  Parallele 
  zu 
  AB 
  gezogen 
  denkt, 
  

   das 
  Stück 
  Op 
  =N'K 
  = 
  x 
  abgeschnitten, 
  wo 
  dann 
  N'p 
  = 
  OK=y 
  ist. 
  

   Man 
  hat 
  daher 
  durch 
  Substitution 
  dieser 
  Werthe 
  in 
  die 
  Glei- 
  

   chung 
  (a) 
  

  

  LK: 
  x 
  =2b: 
  2a 
  = 
  b 
  :a 
  (ß), 
  

  

  in 
  welcher 
  Proportion 
  nur 
  noch 
  das 
  erste 
  Glied 
  unbekannt 
  ist. 
  

  

  Denkt 
  man 
  sich 
  nun 
  OJ 
  gezogen 
  , 
  so 
  folgt 
  aus 
  dem 
  recht- 
  

   winkeligen 
  Dreiecke 
  OJK: 
  

  

  JK 
  = 
  VjO 
  2 
  — 
  OK 
  2 
  

  

  da 
  aber 
  OJ 
  = 
  OB 
  == 
  b 
  

  

  und 
  OK 
  = 
  y 
  

  

  ist, 
  SO 
  folgt 
  JK 
  = 
  ]/ 
  b» 
  — 
  y*; 
  

  

  es 
  ist 
  aber 
  JK 
  = 
  LK 
  

  

  