﻿Construetion 
  des 
  Kreises 
  und 
  der 
  Ellipse. 
  J)3 
  

  

  Wird 
  ferner 
  aus 
  dem 
  Punkte 
  L 
  die 
  LN 
  H 
  EG 
  gezogen 
  , 
  so 
  er- 
  

   folgt 
  der 
  Punkt 
  N 
  als 
  ein 
  zweiter 
  und 
  zwar 
  als 
  correspondirender 
  

   Punkt 
  des 
  Punktes 
  N 
  derselben 
  Ellipse. 
  

  

  Man 
  kann 
  aber 
  dieselben 
  Punkte 
  erhalten 
  , 
  wenn 
  man 
  aus 
  dem 
  

   Punkte 
  M 
  zu 
  den 
  entsprechenden 
  Diagonalen 
  Parallelen 
  zieht, 
  wie 
  aus 
  

   der 
  Figur 
  ersichtlich 
  ist. 
  

  

  Beweis. 
  

  

  Vergleicht 
  man 
  die 
  in 
  dieser 
  Figur 
  entstandenen 
  Dreiecke 
  mit 
  

   einander, 
  so 
  findet 
  man 
  bezüglich 
  des 
  Punktes 
  N 
  das 
  AXMcv 
  

   FGH, 
  daher: 
  

  

  LK: 
  NK 
  = 
  GH 
  : 
  FG; 
  

   es 
  ist 
  aber 
  GH 
  = 
  AB 
  = 
  2b', 
  

  

  und 
  FG 
  = 
  CD 
  = 
  2d; 
  

  

  also 
  LK.NK 
  =AB:CD 
  = 
  2b':2d= 
  b':d. 
  . 
  . 
  (a). 
  

  

  Nimmt 
  man 
  nun 
  die 
  conjugirten 
  Axen 
  als 
  die 
  Coordinaten- 
  

   Axen 
  an, 
  so 
  hat 
  man, 
  wenn 
  die 
  Abscissenaxe 
  mit 
  der 
  Ordinatenaxe 
  

   verwechselt 
  wird, 
  OK 
  = 
  y' 
  und 
  NK 
  = 
  x' 
  . 
  

  

  Denkt 
  man 
  sich 
  ferner 
  auch 
  die 
  Hilfslinie 
  JO 
  gezogen, 
  so 
  folgt 
  

   aus 
  dem 
  rechtwinkeligen 
  Dreiecke 
  JKO 
  : 
  

  

  JK= 
  Völ 
  % 
  - 
  ÖK\ 
  

  

  Da 
  nun 
  die 
  Gedachte 
  OJ 
  = 
  OB 
  = 
  b' 
  

   und 
  OK=y' 
  ist, 
  

  

  so 
  hat 
  man 
  JK 
  = 
  V 
  b' 
  

  

  y 
  

  

  es 
  ist 
  aber 
  IK 
  = 
  LK 
  nach 
  der 
  Construetion, 
  

  

  daher 
  LK 
  = 
  V 
  b' 
  z 
  — 
  y' 
  2 
  . 
  

  

  Werden 
  nun 
  diese 
  Werthe 
  in 
  die 
  Gleichung 
  (a) 
  substituirt, 
  

   so 
  folgt: 
  

  

  V 
  b' 
  z 
  — 
  y' 
  2 
  - 
  x' 
  = 
  b' 
  : 
  a\ 
  

  

  woraus 
  man 
  d 
  * 
  b' 
  z 
  — 
  y' 
  z 
  = 
  b'x' 
  erhält; 
  

  

  welche 
  Gleichung 
  beiderseits 
  quadrirt 
  sofort 
  gibt: 
  

   a' 
  z 
  (b' 
  z 
  —ij*) 
  = 
  b'*x' 
  2 
  

  

  d 
  % 
  b' 
  z 
  —d*y' 
  z 
  = 
  b' 
  2 
  x' 
  2 
  

  

  und 
  hieraus 
  ^ 
  + 
  |^- 
  = 
  1 
  ; 
  

  

  also 
  ebenfalls 
  eine 
  Gleichung 
  der 
  Ellipse, 
  daher 
  ist 
  jeder 
  auf 
  diese 
  

   Art 
  gefundene 
  Punkt 
  ein 
  Ellipsenpunkt. 
  

  

  