﻿58 
  Fialkowski. 
  

  

  Um 
  diesen 
  Satz 
  ganz 
  allgemein 
  nachzuweisen 
  , 
  bezeichnen 
  wir 
  

   die 
  Anzahl 
  Theile, 
  in 
  welche 
  die 
  Neunziger-Sehne 
  BC 
  getheilt 
  wird 
  

   mit 
  n 
  und 
  die 
  Anzahl 
  derjenigen 
  Theile, 
  welche 
  man 
  zum 
  Radius 
  des 
  

   Hilfskreises 
  nimmt 
  mit 
  p 
  t 
  so 
  ist 
  der 
  Radius 
  für 
  den 
  Hilfskreis 
  (auf 
  

  

  ^/o 
  - 
  p 
  _ 
  

  

  den 
  Radius 
  r 
  = 
  1 
  bezogen) 
  =_ 
  — 
  x 
  p 
  — 
  — 
  |/2, 
  daher 
  nach 
  der 
  

  

  n 
  n 
  

  

  angeführten 
  Proportion: 
  

  

  so 
  : 
  h 
  == 
  h 
  : 
  (2—^-), 
  (a) 
  

  

  2/ 
  : 
  ä 
  = 
  h 
  : 
  (tf 
  + 
  £ 
  V%) 
  . 
  . 
  . 
  . 
  (ß) 
  

   somit 
  aus 
  (a) 
  A 
  a 
  = 
  x 
  (2 
  — 
  a?), 
  

  

  und 
  aus 
  (ß) 
  A 
  3 
  = 
  y 
  (x 
  + 
  - 
  vT), 
  

  

  x(2— 
  x) 
  = 
  y{®+ 
  ^V%) 
  . 
  • 
  • 
  • 
  (7); 
  

  

  daher 
  

  

  da 
  nun 
  auch 
  hier 
  

  

  ## 
  + 
  GH 
  = 
  4? 
  + 
  1/ 
  = 
  £ 
  fä 
  

  

  ist, 
  so 
  folgt 
  y 
  = 
  ^ 
  f 
  2 
  — 
  o?, 
  

  

  und 
  daher, 
  wenn 
  dieser 
  Werth 
  in 
  die 
  Gleichung 
  (7) 
  substituirt 
  wird 
  

  

  * 
  (2— 
  x) 
  = 
  (l 
  V2-x) 
  (|V2 
  + 
  a?), 
  

   woraus 
  a? 
  (2 
  — 
  a?) 
  = 
  PVä) 
  — 
  oc 
  2 
  , 
  

  

  __p> 
  

   also 
  2x 
  

  

  somit 
  2a? 
  — 
  x 
  2 
  = 
  S 
  • 
  2 
  — 
  x 
  2 
  , 
  

  

  n 
  2 
  

  

  2p 
  2 
  

  

  folglich 
  x 
  = 
  ^ 
  

  

  folgt, 
  w. 
  z. 
  b. 
  w. 
  

  

  Da 
  nun 
  eine 
  jede 
  Gerade 
  in 
  eine 
  beliebige 
  Anzahl 
  gleicher 
  

  

  Theile 
  geometrisch 
  theilbar 
  ist, 
  so 
  gilt 
  dies 
  von 
  jedem 
  beliebigen 
  

  

  Punkte 
  des 
  Quadranten 
  und 
  dessen 
  entsprechender 
  Sehne. 
  

  

  p 
  2 
  

   Löst 
  man 
  die 
  Gleichung 
  a? 
  = 
  — 
  in 
  eine 
  Proportion 
  auf, 
  so 
  

  

  erhält 
  man 
  : 
  

  

  x 
  : 
  p 
  = 
  p 
  : 
  n 
  2 
  , 
  

  

  d. 
  h. 
  in 
  Worten 
  ausgedrückt: 
  Jedes 
  Stück 
  der 
  Neunziger 
  -Sehne 
  ist 
  

   die 
  mittlere 
  geometrische 
  Proportionale 
  zwischen 
  dem 
  Quadrate 
  

  

  