﻿Construction 
  des 
  Kreises 
  und 
  der 
  Ellipse. 
  69 
  

  

  Substituirt 
  man 
  hier 
  für 
  x" 
  und 
  y" 
  die 
  in 
  III 
  und 
  IV 
  gefundenen 
  

   Werthe, 
  so 
  muss 
  auch 
  dann 
  

  

  \n 
  O 
  + 
  p 
  Y%) 
  \" 
  \ 
  p(p 
  + 
  n 
  YY) 
  | 
  a 
  _ 
  r3 
  _ 
  j 
  

  

  [n(n 
  + 
  p 
  Y%) 
  + 
  p 
  2 
  ) 
  (n(n 
  + 
  p 
  Y 
  2) 
  + 
  p 
  z 
  \ 
  

  

  erfolgen. 
  

  

  Werden 
  die 
  zwei 
  vor 
  dem 
  Gleichheitszeichen 
  stehenden 
  Aus- 
  

   drücke 
  quadrirt, 
  wie 
  dies 
  angezeigt 
  ist, 
  so 
  erhält 
  man, 
  indem 
  beide 
  

   Ausdrücke 
  gleiche 
  Nenner 
  haben: 
  

  

  \n(n+pYY) 
  Y 
  \p(p 
  + 
  nYY) 
  Y 
  [n(n 
  + 
  p 
  YYff 
  + 
  [p(p 
  + 
  nY%)] 
  z 
  

   }n 
  (n+pY%) 
  + 
  p 
  z 
  ) 
  \n 
  (n 
  + 
  pYY) 
  + 
  p 
  z 
  ) 
  [n 
  (n 
  + 
  pYä)+p 
  z 
  ~\ 
  z 
  

  

  n 
  z 
  {n 
  z 
  + 
  %npY% 
  '+ 
  2p 
  2 
  ) 
  + 
  p 
  z 
  (p 
  z 
  + 
  ZnpY%~+ 
  2n 
  z 
  ) 
  

   \n{n+pY%)+p*Y 
  

   oder 
  wenn 
  im 
  letzten 
  Theile 
  des 
  Zählers 
  mit 
  p 
  z 
  hinein 
  multiplicirt 
  

   wird 
  

  

  n 
  z 
  (n 
  2 
  + 
  2rcp 
  YY+ 
  2p 
  2 
  ) 
  + 
  p* 
  + 
  2np 
  3 
  YY 
  + 
  2n 
  z 
  p 
  z 
  

   [n 
  (n+p 
  YY) 
  +p 
  2 
  ] 
  2 
  

   Hebt 
  man 
  bei 
  den 
  letzten 
  zwei 
  Ausdrücken 
  im 
  Zähler 
  2?i 
  p 
  z 
  als 
  

   Factor 
  heraus, 
  so 
  hat 
  man 
  sofort 
  

  

  n 
  z 
  (n 
  z 
  + 
  2npY2+2p) 
  z 
  + 
  %np 
  % 
  (n 
  + 
  pYY) 
  + 
  p" 
  m 
  

  

  [n(n+pYY) 
  + 
  p 
  z 
  ] 
  z 
  

   und 
  da 
  n 
  z 
  + 
  2n 
  p 
  Y% 
  + 
  2 
  p 
  z 
  = 
  (n 
  + 
  p 
  YY) 
  Z 
  ist, 
  so 
  übergeht 
  der 
  

   obige 
  Ausdruck 
  in 
  

  

  n 
  z 
  (n 
  + 
  pYY) 
  z 
  + 
  2wp 
  2 
  (n 
  + 
  p 
  YY) 
  + 
  p* 
  

   [n(n+p 
  YY)+p 
  z 
  ] 
  z 
  

   vergleicht 
  man 
  in 
  diesem 
  Bruche 
  den 
  Zähler 
  mit 
  dem 
  Nenner, 
  so 
  sieht 
  

   man 
  sogleich, 
  dass 
  sie 
  einander 
  gleich 
  sind, 
  denn 
  n 
  (n 
  -j- 
  p 
  V~2} 
  

   + 
  p 
  z 
  aufs 
  Quadrat 
  erhoben, 
  gibt 
  den 
  Zähler. 
  Da 
  also 
  

  

  [n 
  (n 
  + 
  p 
  YY) 
  + 
  p 
  2 
  ] 
  2 
  = 
  n 
  z 
  (n 
  + 
  pYY) 
  z 
  + 
  %np 
  z 
  (n 
  + 
  p 
  YY) 
  + 
  p* 
  

   gesetzt 
  werden 
  kann, 
  so 
  ist 
  auch 
  

  

  [n 
  (n 
  + 
  pYY) 
  + 
  p 
  2 
  ] 
  2 
  

   [n 
  (n 
  + 
  p 
  YY) 
  + 
  p 
  2 
  ] 
  2 
  

   Es 
  ist 
  daher 
  der 
  Durchschnittspunkt 
  Q 
  } 
  dessen 
  Abscisse 
  

   n 
  O 
  + 
  pYY) 
  

  

  x 
  = 
  

  

  n 
  (n 
  + 
  p 
  Y% 
  ) 
  + 
  p 
  % 
  

  

  