﻿Construction 
  des 
  Kreises 
  und 
  der 
  Ellipse. 
  37 
  

  

  und 
  2 
  x 
  = 
  -ö 
  , 
  

  

  folglich 
  # 
  = 
  — 
  . 
  

  

  2 
  3 
  4 
  

   Wird 
  ferner 
  für 
  x 
  4- 
  y 
  nach 
  und 
  nach 
  — 
  , 
  — 
  , 
  — 
  .... 
  substi- 
  

   1 
  a 
  nun 
  

  

  tuirt, 
  so 
  erhält 
  man 
  jedesmal 
  aus 
  den 
  zwei 
  aufgestellten 
  Proportionen 
  

  

  oder 
  unmittelbar 
  aus 
  der 
  Gleichung 
  (/) 
  die 
  entsprechenden 
  Werthe 
  

  

  für 
  x. 
  

  

  Wird 
  also 
  im 
  Allgemeinen 
  der 
  Halbmesser 
  des 
  Grundkreises 
  

  

  in 
  n 
  gleiche 
  Theile 
  getheilt, 
  und 
  p 
  solche 
  Theile 
  für 
  den 
  Halbmesser 
  

  

  des 
  Hilfskreises 
  genommen, 
  so 
  ist 
  dann 
  

  

  daher 
  y 
  = 
  — 
  — 
  x, 
  

  

  also 
  nach 
  (j) 
  x 
  (2 
  — 
  x) 
  = 
  (— 
  — 
  x\ 
  (— 
  -f 
  x) 
  , 
  

  

  » 
  3 
  

   somit 
  2 
  x 
  — 
  x 
  2 
  = 
  ^~ 
  — 
  x 
  2 
  , 
  

  

  und 
  2 
  x 
  = 
  

  

  pZ 
  

  

  n 
  

  

  r 
  

  

  % 
  ' 
  

  

  folglich 
  ist 
  x 
  = 
  -— 
  als 
  eine 
  allgemeine 
  Gleichung 
  für 
  

  

  die 
  Segmente. 
  

  

  Lösen 
  wir 
  diese 
  Gleichung 
  in 
  eine 
  Proportion 
  auf, 
  so 
  haben 
  wir: 
  

   2 
  x 
  : 
  p 
  = 
  p 
  : 
  n 
  z 
  , 
  

   d. 
  h. 
  in 
  Worten 
  ausgedrückt 
  : 
  Der 
  Halbmesser 
  des 
  Hilfskreises 
  ist 
  die 
  

   mittlere 
  geometrische 
  Proportionale 
  zwischen 
  dem 
  doppelten 
  Seg- 
  

   mente 
  und 
  dem 
  Quadrate 
  der 
  Anzahl 
  Theile, 
  in 
  welche 
  der 
  Halb- 
  

   messer 
  des 
  Grundkreises 
  getheilt 
  wird. 
  

  

  Werden 
  mittelst 
  dieser 
  Gleichung 
  die 
  Segmente 
  für 
  die 
  Einthei- 
  

   lung 
  des 
  Halbmessers 
  in 
  2, 
  3,4... 
  (n 
  — 
  1), 
  n 
  gleiche 
  Theile 
  

   berechnet, 
  so 
  erhält 
  man 
  Brüche, 
  deren 
  Zähler 
  die 
  Quadrate 
  der 
  

   natürlichen 
  Zahlen 
  sind, 
  deren 
  Nenner 
  aber 
  eine 
  Reihe 
  der 
  

   zweiten 
  Ordnung 
  bilden, 
  nämlich 
  : 
  

  

  2-22, 
  2-3*, 
  2-4*, 
  2-5*, 
  2-6*, 
  2-7«, 
  2*8«, 
  . 
  . 
  . 
  

   oder 
  

  

  8, 
  18, 
  32, 
  50, 
  72, 
  98, 
  128 
  .. 
  . 
  

   deren 
  constante 
  Differenz 
  die 
  Zahl 
  4 
  ist. 
  

  

  