Anwendungen der Theorie des Potentiales etc. von Dr. phiU L. Weber. 107 



andere Sätze enthalten, nämlich i): Wenn der die Massen enthaltende 

 Raum einen massenleeren Raum umschliesst und das Potential in 

 einem Teile dieses letzteren Raumes einen constanten Wert hat, so 

 gilt dieser für alle Punkte des ganzen eingeschlossenen Raumes und 

 2) Wenn das Potential der in einen endlichen Raum eingeschlossenen 

 Massen in irgend einem Teile des äussern Raumes einen constanten 

 Wert hat, so gilt dieser für den ganzen unendlichen äussern Raum. 



Für den Fall des logarithmischen Potentiales würde in diesen 

 Sätzen nur das Wort Raum zu ersetzen sein durch Flächenstück. 



In dem Falle der Inconstanz des Potentiales ergiebt sich ferner 

 sehr leicht, dass dasselbe in den von Masse nicht erfüllten Räumen 

 resp. Flächen keine Maxima oder Minima aufweisen kann , was 

 natürlich so zu verstehen ist, dass es in jenen von Masse nicht 

 erfüllten Räumen keine Punkte gibt, die einen grösseren oder kleineren 

 Wert des Potentiales hätten, als alle in ihrer nächsten Umgebung 

 liegenden Punkte. 



Eine weitere allgemeine Eigenschaft des Newton'schen sowol wie 

 des logarithmischen Potentiales besteht darin, dass die Potentiale 

 selber sowie ihre nach den Coordinanten des variabelen (afficirten) 

 Punktes genommenen Differentialquotienten beHebig hoher Ordnung 

 überall eindeutig und stetig sind, so lange der variabele Punkt ausser- 

 halb der wirkenden Massen bleibt. Rückt der variabele Punkt in 

 den von Masse erfüllten Raum resp. die mit Masse bedeckte Fläche, 

 so sind die Ableitungen auch dann noch stetig, wenn die Dichtigkeit 

 der Masse eine endliche ist. Unter derselben Voraussetzung gelten 

 auch die überaus wichtigen von Laplace und Poisson aufgestellten 

 Gleichungen, welche aussagen, dass die Summe der zweiten partiellen 

 Ableitungen des Potentiales ausserhalb der wirkenden Masse gleich 

 Null und innerhalb der Masse gleich der mit — 4 n resp. beim 

 logarithmischen Potential mit — 2 tt multiplicirten Dichtigkeit der 

 Masse an der betr. Stelle sind. 



Von den Fällen, die eine Unstetigkeit im Verlauf der Differential- 

 quotienten des Potentiales aufweisen, möge nur der wichtigste angefürt 

 werden. Denkt man sich z. B. die Gesammtmasse eines Körpers 

 rücksichtlich ihrer Wirkung auf äussere oder innere Punkte in passen- 

 der Weise dargestellt als eine materielle unendlich dünne Oberflächen- 

 schicht des Körpers, oder in dem analogen Falle des logarithmischen 

 Potentiales als eine materielle Belegung der Randcurven des betrachteten 

 Flächenstückes, so zeigt es sich, dass die Differentialquotienten des 

 Potentiales an der Oberflächenschicht resp. der materiellen Curve 

 unstetig sind. Unter der Unstetigkeit der Differentialquotienten 

 einer Funktion versteht man bekanntlich, dass die nach zwei gerade 



