108 Amvendungen der Theorie des Potentiales etc. von Dr. pliil. L. Weber. 



entgegengesetzten Richtungen gebildeten Differentialquotienten nicht 

 wie in dem Falle der Stetigkeit gleiche und entgegengesetzte Werte 

 geben, sondern eine Summe bilden von endlicher Grösse. Bildet man 

 nun die Differentialquotienten des Potentiales einer Oberflächen- oder 

 Curvenbelegung nach den beiden genau entgegengesetzten Richtungen 

 der innern und äussern Normale, so zeigt es sich, dass die Summe 

 dieser Ableitungen nicht gleich Null ist, sondern einen endlichen 

 Wert hat, der im Allgemeinen in jedem Punkte der betrachteten 

 Oberfläche oder Curve verschiedene Grösse hat, aber insofern von 

 ganz besonderer Wichtigkeit ist, als derselbe eine direkte Relation 

 zwischen der an dem betrachteten Punkte vorhandenen Dichtigkeit 

 der Masse und der auf denselben Punkt bez. Differentialquotienten 

 des Potentiales nach den beiden Normalen gibt: die Summe dieser 

 letzteren, so wies Laplace zuerst nach, ist nämlich gleich der mit 

 — 4 TT resp. beim logarithmischen Potential mit — 2 ti multiplicirten 

 Dichtigkeit an dem betr. Punkte. 



Ausser diesen wenigen Angaben über die allgemeinen rein 

 mathematischen Eigenschaften des Potentiales möge nun auch der- 

 jenigen ebenfalls mathematischen Hülfmittel, durch welche die An- 

 wendung des Potentiales auf bestimmt gegebene Probleme wesentlich 

 erleichtert und zum Teil überhaupt ermöglicht wird, wenigstens 

 des wichtigsten und für die Theorie des Potentiales am meisten 

 charakteristischen in Kürze gedacht werden. Es besteht dieses in 

 der Anwendung der von Green gegebenen Formeln. Einesteils lassen 

 sich durch dieselben gewisse dreifache über den ganzen Raum eines 

 Körpers erstreckte Integrale verwandeln in Oberflächenintegrale, und 

 durch analoge der Theorie des logarithmischen Potentiales entsprechende 

 Formeln lassen sich gewisse zweifache über eine gegebene Fläche 

 erstreckte Integrale verwandeln in Randcurvenintegrale; andererseits 

 zeigen aber auch die Green'schen Formeln, wie aus der numerischen 

 Berechnung gewisser Oberflächen- oder Randcurvenintegrale die Werte 

 des Potentiales innerhalb jener Flächeji oder Curven gefunden werden 

 können. Die Bedeutsamkeit dieser Green'schen Formeln tritt etwas 

 klarer hervor, wenn man folgende zwei aus den oben erwänten 

 allgemeinen Eigenschaften des Potentiales sich leicht ergebenden 

 Consequenzen berücksichtigt. Denkt man sich nänilich die wirkenden 

 Massen ausserhalb eines abgegrenzten Raumes befindlich und ist 

 man nur im Stande die Werte des Potentiales auf der jenen Raum 

 einschliessenden Fläche anzugeben, so sind dadurch die Werte des 

 Potentiales für jeden Punkt im Innern der Fläche bestimmt und 

 ferner: Befinden sich die wirkenden Massen innerhalb eines Raumes 

 und kennt man die Werte des Potentiales an der Begrenzungsfläche ; 



