Anwendungen der Theorie des Potentiales etc. von Dr. phil. L. Weber. 109 



SO sind dadurch die Werte des Potentiales für jeden Punkt ausserhalb 

 des abgegrenzten Raumes bestimmt. 



Aus dem Gesagten geht nun hervor, dass die mathematischen 

 Gesichtspunkte, welche bei Anwendung der Potentialtheorie auf ein 

 gegebenes Problem auftreten, im Wesentlichen darin bestehen, Funk- 

 tionen ausfindig zu machen, die die allgemeinen Eigenschaften des 

 Potentiales besitzen, also stetig und eindeutig sind und der Poisson- 

 Laplace'schen Differentialgleichung genügen, und die ausserdem auf 

 gewissen Flächen oder Linien vorgeschriebene Werte besitzen. 



Um nun der Anwendung der Potentialtheorie auf physikalische 

 Probleme näher zu treten, sei noch einmal an die oben gegebene 

 Definition des Potentials erinnert; nämlich als derjenigen Funktion, 

 deren Difterentialquotient nach irgend einer Richtung die nach dieser 

 Richtung ausgeübte Kraftcomponente darstellt. Da es sich bei 

 physikalischen Problemen fast immer darum handelt, diejenigen Kräfte 

 zu berechnen, d. h. als Funktionen der räumlichen Coordinaten anzu- 

 geben, die ein gegebenes System von Massen oder ImponderabiUen 

 auf bestimmte Punkte der zu dem System gehörigen Körper ausübt, so 

 ist klar, dass diese Aufgabe sofort als gelöst zu betrachten ist, sobald 

 das Potential für jenes System bekannt ist. Man würde eben nur 

 das Potential zu differenziren brauchen um die gesuchten Kraft- 

 componenten zu erhalten. Hierbei ist natürlich keineswegs die 

 Möglichkeit ausgeschlossen, dass es eine ganze Reihe von Auf- 

 gaben geben kann, bei denen man diese Operation des Differenzirens 

 gar nicht auszufüren braucht, sondern schon aus der alleinigen Dis- 

 cussion des für das Potential gefundenen Ausdruckes die gesuchten 

 Kraftcomponenten direkt zu ermitteln im Stande ist. Eine solche 

 Discussion kann z. B. darin bestehen, dass man aus der Form des 

 ermittelten Potentiales erkennt, dasselbe sei identisch mit dem Poten- 

 tiale einer anderen und zwar einfacheren Massenverteilung, als es 

 die gegebene ist ; oder mit andern Worten, man würde aus der Form 

 des Potentiales unter Umständen erkennen können, dass für die 

 gegebenen Maassen bezüglich ihrer Wirkung auf einen beliebigen 

 Punkt des Systems andere einfacher zu übersehende und zu berechnende 

 Massen substituirt werden können. Nehmen wir beispielsweise an, 

 es sei eine Kugel gegeben, die aus lauter concentrischen Schichten 

 verschiedener Dichtigkeit zusammengesetzt und deren Gesammtmasse 

 bekannt sei, und es würde verlangt, die von dieser Kugel auf einen 

 äusseren Punkt ausgeübte Kraft unter Zugrundelegung des Newton'schen 

 Attractionsgesetzes zu ermitteln. Die Auftsellung des Potentiales der 

 Kugel gibt dann in diesem Falle eine sehr einfache und elegante 

 Lösung der Aufgabe. Es zeigt sich nämlich durch eine leichte 



