Bemærkn. vedk. Plangeometrien. 291 



Punkt i Linien DE udenfor Slyrelinien følger en ret Linie. 

 Men nu kan man gjøre D'D til Styrelinie, og lade BE be- 

 væge sig tilbage saaledes, at dens Endepunkt følger D'D^ 

 og saaledes, at den i ethvert Punkt af D'D har samme 

 Stilling som under Bevægelsen frem : C vil da følge BA og 

 E Linien EE. Men skulde nu C, skjønt liggende udenfor 

 Styrelinien, følge en ret Linie, medens E fulgte en Linie, 

 som ikke var ret, saa maatte det bero paa et Punkts til- 

 fældige Afstand fra Styrelinien, om dets Vei skulde blive 

 en ret Linie eller ikke, h\ilket ar en Urimelighed. Følge- 

 lig er EE en ret Linie, som overalt staar lige langt fra 

 den rette Linie AB. Det samme er naturligviis Tilfældet 

 med D'D. 



§ 6. 



Læresætning. En Firkant kan have ligestore Sider, 

 og hver af dens fire Vinkler kan være ret. 



Bet. Vinklen A være = C=R (Fig. 6) ; BA = AC = 

 CD; man drage Linien BD. 



Sats. BA=AC=CD=BD,ogA=C=D=B=R. 



Beviis. Man halvere Vinklen A og Vinklen (7. Hal- 

 veringslinierne ville da mødes i et Punkt E. Man drage 

 Linierne EB og ED. Det vil da uden nærmere Paaviis- 

 ning indsees; 1) at Trianglerne AEC, AEB' og CED ere 

 ligebenede og kongruente; 2) at EA=EC=ED = EB] 

 3) at Vinklen 2\ = x^ = x^ = x^ = x^ = x^ og 4) at Trianglet 

 BED er ligebenet, følgelig Xt=x^. Punktet jEJ ligger alt- 

 saa lige langt fra hvert af Punkterne B, A, C, D, hvilket 

 ikke kan være Tilfældet, medmindre E ligger midt imellem 

 C og B, og midt imellem A og D, med andre Ord: EB er 

 en Forlængelse af CE, og ED en Forlængelse niAE. Altsaa 

 Vinklen BED = Vinklen AEC, Trianglet BED ^^ med Tri- 

 anglet CEA, BD = AC, x^ = x,, x^ = x^ og B = D = E. 



