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Application d’un problème de géométrie à une question 
d'analyse indéterminée; par M. E. Catalan, associé de 
l'Académie. 
l. La Toroide, c’est-à-dire la parallèle à Eine a pour 
équation (°) : 
+ kabak (a? + y — 08 — bt ke) 
h (ad ya + Dear at RE bT K te) 
+ 18 a? b? k? (x2 + y? — a? — b — kẹ 
(a? y? + b2 x? — a? k? — b? k? — a? b?) — 27 at bt kt = 0 (1); 
k désignant la distance comprise entre les deux courbes, 
comptée sur la normale commune. 
IL. Si Pon suppose b =a, x? + y? == u?, on réduit l'é- 
quation (1) à : 
2 k 
(u? — 2a? — k?) (u? — a? — 2k?) + 4e (ui — 2? — e 
+ 4a? (u? — 2k? — a3) 
+ 18 a? k? (u? — 2a? — k?) (u? — a? — 2k?) 
+ à à : 0 
ou, en posant u? — a — = :, à 
(8 + 2 (a? + k?) tè + (a? — ye — 8& k? (a? + k?) È 
— 4a? (a+) 0 . . . . 5 
IH. Lorsque b — a, l’ellipse donnée se avigt en un 
cercle, et la toroïde se réduit au système de deux cercles, 
Č) Nouvelles Annales de mathématiques, t. MI, p. 535. 
