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d'où nous concluons de suite : 
(4) . . . . de = de cos,e — ds, 008 9, 
Cette expression est celle dont nous allons faire usage; 
on en déduit sans peine les propriétés des lignes géodé- 
siques données par Gauss, dans son mémoire sur la théorie 
des surfaces (*). 
$ IL 
Considérons une courbe PMQ (fig. 1) tracée sur une 
surface, et définie par une relation entre les longueurs 
s et s’ des lignes géodésiques, menées d'un point quel- 
conque de cette courbe normalement à deux courbes don- 
nées AB, CD sur cette surface. 
On aura donc pour équation de la courbe PMQ : 
F (s, 8) =0. 
Désignons par Ẹ, o! les angles sous lesquels les lignes 
géodésiques coordonnées MM,, MMa, coupent respective- 
ment la courbe PMQ. Les variations ds, òs’, calculées 
par la formule (4), en observant que chaque ligne géodé- 
sique reste toujours normale à l’une des courbes AB, CD, 
sont : 5 
ds =— d5 0089, 08 = ds cos, 
et comme on a d’ailleurs : 
pro pie 
—* 08 — Y == $ 
Mr T 
RER 
(*) Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas; Comm. 
de Gôttingue, t. VI. 
2% SÉRIE, TOME IX. 4 
Mo. Bot. Garden, 
1896 
