(31) 
$ IH. 
Supposons que la surface donnée se réduise à un plan : 
les lignes géodésiques devienñent des lignes droites, et 
l'on peut facilement réaliser les conditions ci-dessus au 
moyen d’un tracé continu. 
Tracons deux courbés à 
volonté, EF, GH : suppo- 
sons un fil fixé par ses ex- 
trémités en deux points pris 
sur ces deux courbes, et en- 
roulé sur ces courbes dont 
il se détache tangentielle- 
ment, suivant les tangentes 
T-M, T,M, au moyen d’une 
Pa) pointe à tracer qui tient ce 
fil constamment tendu, de telle manière qu’en senrou- 
lant sur EF, par exemple, il se déroule sur GH. Il est 
clair qu'un point M, du fil décrira une développante de 
la courbe EF; un autre point, tel que Ma, décrira une 
développante de la courbe GH : cela résulte de la con- 
struction même, et les portions rectilignes MT,, MT; , du 
fil, seront constamment normales à ces développantes 
respectivement. Il est donc évident que la courbe tracée 
par la pointe sera telle que la somme des distances MM,, 
MM2, de chacun de ses points à deux courbes données, 
sera constante, ce qui rentre dans les conditions du 
théorème précédent. D'où il suit : que la courbe décrite 
par la pointe dans les conditions que nous venons d'indi- 
quer, a sa tangente en chaque, point également inclinée 
sur les deux portions du fil qui aboutissent à ce point. 
