( 85 ) 
Nous nous proposons de déterminer les fonctions inva- 
riantes qui ont pour expression générale 
Der Ch rt Cala Pre T Clas 
Pis Po, -…… P, étant supposés linéairement indépendants. 
1. Les fonctions & sont caractérisées par l'équation 
CP, + CP, + + + CP, = dT (ep. rien GP); 
à étant le module de la substitution (1) et C représentant 
la transformée de c. 
Remplaçons les quantités P par leur valeurs (2) et 
identifions les coefficients des fonctions linéairement 
indépendantes pı, Po, … , p,; nous obtenons les équations 
li = e 7 (0G “+” 0,,Ce + ve + Bk 
En se reportant à la formule (2), on voit que les quan- 
tités € sont contragrédientes à Pi, Po, ---, Pr, Même quand 
elles ont entre elles des relations du premier degré. 
Inversement, si les c sont contragrédients à Pi, …, Pis 
la somme cp + --- + C‚p‚ est invariante. 
Représentons par e les éléments dont dépendent les 
fonctions c et par e' des éléments différents, mais ana- 
logues à e. Soient c' =c (e') les fonctions correspondant 
à c = c (e); les quantités cet c’ étant transformables de la 
même manière, le système (c’) est contragrédient à (p) 
et Cp: + Gps + +. + cp, est une fonction invariante 
qui se réduit à ọ, si l'on identifie les éléments e’ et e. 
Donc, sans nuire à la généralité, on peut supposer que 
dans le développement de @, les fonctions € et p dépendent de 
séries différentes d'éléments. 
