( 124) 
examinons de plus près les criteriums relatifs au nombre 
de racines positives de l’équation (10), suivant que yo 
est z AR. 
Criteriums relatifs aux solutions multiples. —- 1° Cas 
de yo < 4R? (c'est le cas le plus fréquent). — On constate 
aisément, en construisant les courbes, que si les racines 
de (15) sont imaginaires, l'équation (10) a presque tou- 
jours une seule racine positive; toutefois l'équation (10) 
aurait trois racines positives si, les racines de (15) étant 
imaginaires, l'équation (16) avait trois racines réelles, 
dont deux au moins positives, et si, yo étant la valeur de y 
correspondant à la plus petite de ces deux racines posi- 
tives et y; celle qui correspond à la plus grande, on 
avait à la fois 
Ye > 4R° el Ys SARS. 
C'est dans ce cas que rentre le cas particulier de Ao =0 
et yo = 1, applicable à la méthode d'Olbers. Les racines 
de (15) sont alors imaginaires et (10) ne peut avoir qu'une 
ou trois racines positives : on retrouve un résultat connu, 
le seul donné par Oppolzer. 
C'est aussi le cas du premier essai de la méthode 
d'Oppolzer, et pour les autres essais, ce sera encore 
généralement ce cas qui se présentera. 
Toutefois, pour les essais de la méthode d’Oppolzer, 
autres que le premier, l'équation (10) peut, dans certains 
cas rares, avoir cinq racines positives : il faut pour cela 
que les cinq racines de (15) et de (16) soient réelles, 
que quatre au moins de ces racines soient positives et 
que les deux maxima de (10) soient > 4R° et les 
trois minima < 4R?. Dans tous les autres cas, il n'y 
