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4° Ceux qui possedit à la fois des éléments directs 
et inverses. 
Ces quatre catégories se subdivisent en vingt-cinq 
classes, différant de l’une à l’autre, soit par le nombre des 
ordres d’axes, soit par l’ordre de symétrie des axes, soit 
par l’espèce des axes, soit par le nombre d’axes du même 
ordre et de la même espèce. 
Les six combinaisons que j'ai mentionnées dans mon 
rapport sur le second mémoire de M. Cesàro, forment les 
sept classes de la catégorie 2 ci-dessus. (Sept au lieu de 
six, parce que le cas 22”, nà'?, n1”?, a été subdivisé en 
deux, suivant que n est pair ou impair.) 
Il est à remarquer que cette classification, en ce qui 
concerne les axes de symétrie inverse, se rapporte exclu- 
sivement à des symétriques supposés construits par rap- 
port à un point. 
Dès lors, il semble que l’on puisse ramener toute cette 
étude à des constructions à effectuer sur la sphère, par 
des considérations que je résume ici en quelques mots : 
oit A un axe de symétrie inverse du polyèdre P, I le 
point par rapport auquel a été construit le symétrique P’ 
correspondant à A. 
n démontre facilement que le point I doit être sur À. 
Ainsi tous les axes de symétrie inverse relatifs au point Í 
passent par ce point. 
Décrivons une sphère du point I et marquons les inter- 
sections de cette sphère avec les axes de symétrie du 
polyèdre. Soient B et C deux de ces intersections. 
Faisons tourner le système PP’ autour de IB, jus- 
qu'à ce que P coïncide avec l’ancienne position de P’. P’ 
aura pris alors l’ancienne position de P. Mais l'axe IB 
n’a pas changé; done en faisant une seconde rotation 
