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Sur les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur ; 
par J. Beaupain. 
Rapport de M. J, Beruyts, premier commissaire. 
« M. Beaupain a communiqué précédemment à l Aca- 
démie deux mémoires sur les équations hypergéomé- 
triques E (n, m) : ; 
ariya La gl pe a Ley ==" ij) 4 ve a KY. 
Il résulte des recherches de l'auteur que pour n> m1, 
les substitutions 
i 1 
, z\n—m è zn md 
y =/ aeg) vV du et y =f 4 vl! Vadu, 
dans lesquelles les intégrales sont convenablement défi- 
nies, déterminent V; et Vo respectivement comme solu- 
tions d'équations E (n — 1, n — 1) et E (n —1, n — 2). 
Dans son nouveau travail, M. Beaupain détermine les 
constantes des équations réduites et obtient comme con- 
séquence un double système d’intégrales définies multi- 
ples, pour représenter les solutions principales de E (n, m) 
(à l'exclusion des solutions logarithmiques). Les formules 
généralisent celles qui avaient été données dans les deux 
mémoires précédents, pour le cas de m = 0. 
Les résultats obtenus dans l'étude des fonctions hyper- 
géométriques trouvent des applications importantes aux 
équations 
; B 
y =. y et y= |P tl y 
dont la première a fait objet de nombreux travaux des 
géomètres (Labatto, Kummer, MM. Pochhammer et de 
Tilly). Ces équations sont ramenées à la forme E (n, 0). 
