( 86 ) 
phies du troisième ordre interviennent nécessairement. 
De plus, comme nous aurons l’occasion de le montrer, 
les questions actuelles conduisent à plusieurs propriétés 
intéressantes des surfaces du second ordre. 
Quant aux surfaces du troisième ordre, on sait, depuis 
longtemps, que presque toute leur théorie peut se fonder 
sur celle des faisceaux homographiques du troisième ordre. 
Cependant cette partie même des applications n’est pas 
complète, parce que, sauf dans des cas particuliers très- 
simples, on n'a pas étudié les constructions de ces séries 
homographiques. 
Dans le travail actuel, nous essayons de combler cette 
lacune. 
Pour y parvenir, il faut résoudre, avant tout, ce pro- 
blème fondamental. 
Une homograp hie du troisième ordre et du second rang, 
étant définie par un nombre suffisant de conditions, com- 
pléter un terne dont on connaît deux éléments. 
En général, une pareille homographie est caractérisée 
par sept ternes. 
C’est donc ce cas, d’abord, qu’il est nécessaire d’exami- 
ner et Cest à quoi est consacrée la plus grande partie de 
ce Mémoire. 
IT. Algébriquement, nous avons défini trois séries homo- 
graphiques par l'équation 
fan 0... : . . (0 
La forme f est susceptible d’une expression fort simple 
lorsque son discriminant A est différent de zéro. 
En effet, elle peut s'écrire alors 
[= am XYZ + ea 21/27 e. 
