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Tout en invoquant seulement les propriétés les plus élé- 
mentaires de la ligne droite et du plan, elles permettent 
d'éviter l’objection relative à l'existence du minimum, et 
réduisent la démonstration à un seul cas, au lieu des deux 
cas faisant respectivement l’objet des paragraphes 2 et 3. 
Paragraphe remplaçant 2 et 5. Lorsqu'un corps solide 
passe d’une position à une autre, un point quelconque a, 
lié au corps, est remplacé, dans la position primitive qu'il 
occupait dans l’espace, par un autre point b; le point b est 
remplacé dans la sienne par un point c, etc.; done, lors- 
qu'un corps solide passe d’une position à une autre posi- 
tion quelconque, il existe, pour chaque point a, apparte- 
nant au corps ou lié au corps, une ligne polygonale (plane 
ou gauche) a b c..., qui revient dans sa position primitive 
après le déplacement, chaque sommet ayant avancé d’un 
rang. Je l’appellerai la ligne polygonale des positions sut- 
cessives, ou, pour abréger, la ligne des positions. 
Cette ligne polygonale jouit (à cause de la coïncidence 
possible de ses diverses parties) des propriétés suivantes * 
ses côtés sont égaux entre eux, ainsi que ses angles; de 
plus, si l'on mène tous les plans contenant deux côtés Con- 
séculifs, l'angle de deux plans consécutifs est constant. 
Par un point quelconque de l’espace, menons des droites 
respectivement égales et parallèles aux côtés de la ligne 
polygonale des positions successives et, de plus, dirigées 
dans le même sens que ces côtés (en suivant la ligne poly- 
gonale, de sommet en sommet, dans le sens abc, PA" 
exemple). A cause des propriétés précédentes, nous for- 
merons ainsi un angle solide régulier, ou encore (en male- 
rialisant le plan de la base aussi bien que les plans des 
faces), nous formerons une pyramide régulière, dont , 
base pourra être étoilée et pourra aussi ne pas se fermer: 
