﻿vom 17. Januar 1878. 31 



annimmt, in welcher P, Q, i?, S Functionen zweiten Grades der 



Coordinaten x, y, z, t sind. Die gesuchte Brennfläche, welche mit 



F bezeichnet werden soll, stellt sich so dar als Discriminente der 



kubischen Gleichung (8) oder als das Resultat der Elimination des 

 >. aus den beiden Gleichungen 



,3 



/ == P — Q x + B X 2 — S X s = 0, 



— Q + 2BX— 3S? 2 = 0, 



3/ „..-.„, »o,._n W 



dx 



welches bekanntlich in folgender Form gegeben ist: 



F== ( 9 ps— QB) 2 —±(?>PB — Q 2 )(sQS — B 2 ) = 0. (10) 



Die gesuchte Fläche, welche auch als Einhüllende der Seh aar von 

 Flächen zweiten Grades / definirt werden kann, ist also eine Fläche 

 achter Ordnung. 



Dass die Fläche F in der That eine Fläche der gesuchten 

 Art ist, dass sie mit ihrer reeiprok polaren Fläche von gleicher 

 Ordnung ist, und die gleichen Singularitäten besitzt, folgt fast un- 

 mittelbar aus dem allgemeinen Satze, dass man zu einem jeden 

 Strahlensysteme, welches durch Gleichungen unter den sechs 

 Grössen, u, v, iv, tP, tr h t£ gegeben ist, das reeiprok polare Strah- 

 lensystem erhält, indem man die drei Grössen u, v, w mit den drei 

 Grössen ^, <>j, t£ vertauscht. Die linearen Ausdrücke K, L, M, 

 K\ Z/, M\ durch welche das oben aufgestellte Strahlensystem 

 dritter Ordnung und dritter Klasse bestimmt ist, bleiben bei der 

 genannten Vertauschung Ausdrücke derselben Form, welche von den 

 ursprünglichen sich nur dadurch unterscheiden, dass die lateinischen 

 Buchstaben a, 5, c, a u 6 1? e^ etc. überall mit den entsprechenden 

 griechischen Buchstaben «, /3, «y, ct x , (2> x etc. vertauscht sind. Die 

 Brennfläche des polaren Strahlensystems ist aber noth wendig die- 

 selbe, als die polare Fläche des ursprünglichen Strahlensystems, 

 darum muss auch die polare Fläche zu F, welche mit $ bezeich- 

 net werden soll, aus jener durch blosse Vertauschung der lateini- 

 schen Buchstaben a, b, e . . . . mit den griechischen «, ß, 7 . . . . 

 erhalten werden. Da also beide Flächen F und $ nur durch ver- 

 schiedene Werthe der Constanten sich von einander unterscheiden, 

 so müssen sie nicht nur von derselben Ordnung sein, sondern es 



