﻿34 Gesammtsitzung 



Die Bedingung, dass die Hessische Determinante einer Fläche 

 zweiten Grades gleich Null ist, drückt im Allgemeinen aus, dass 

 dieselbe ein Kegel zweiten Grades ist, wenn aber, wie in dem vor- 

 liegenden Falle, die Gleichung H = nicht zwölf verschiedene, 

 sondern sechs Paare einander gleicher Wurzeln ?. hat, so treten an- 

 statt der zwölf Kegel zweiten Grades nur sechs Ebenen paare 

 unter der Schaar der Flächen / auf. Da eine jede von diesen 

 Flächen / die Brennfläche F längs derjenigen ganzen Curve vierten 

 Grades berührt, welche durch die beiden Gleichungen bei (9) be- 

 stimmt ist, so muss auch ein jedes der sechs Ebenenpaare, welche 

 in der Schaar der Flächen zweiten Grades / enthalten sind, die 

 Fläche F in einer solchen Curve vierten Grades berühren, welche 

 aber hier als Durchschnitt eines Systems zweier Ebenen mit einer 

 Fläche zweiten Grades sich darstellt und deshalb aus zwei ebenen 

 Curven zweiten Grades besteht. Jede der zwölf Ebenen dieser 

 sechs Ebenenpaare berührt also die Fläche F in einem ganzen 

 Kegelschnitt und ist somit eine singulare Tangentialebene derselben. 

 Die Fläche F hat also zwölf singulare Tangentialebenen, 

 welche dieselbe in Curven zweiten Grades berühren. 



Weil den die Fläche F in Curven zweiten Grades berührenden 

 zwölf singulären Tangentialebenen in der reciprok polaren Fläche 

 * zwölf Knotenpunkte mit osculirenden Kegeln zweiten Grades ent- 

 sprechen und weil die Singularitäten der Fläche 3> ebenfalls in der 

 Fläche F Statt haben müssen, so folgt unmittelbar: die Fläche 

 F hat zwölf Knotenpunkte mit osculirenden Kegeln 

 zweiten Grades. 



Man kann diese zwölf Knotenpunkte der Fläche F auch in 

 folgender Weise nachweisen, wodurch zugleich ihre Lage näher be- 

 stimmt wird. Zwei zusammengehörende singulare Tangentialebenen, 

 welche eines der sechs Ebenenpaare bilden, die in der Schaar der 

 erzeugenden Flächen zweiten Grades / enthalten sind, schneiden, 

 wie oben gezeigt worden ist, aus der Fläche 



— ^/= Q — 2ÄX + 3ÄX 2 =0 

 o X 



die zwei Kegelschnitte aus, in denen diese Ebenen die Fläche F 

 berühren. Die gerade Linie, in welcher diese beiden Ebenen sich 



c\ f 



schneiden, schneidet aus dieser Fläche — - = zwei Funkte aus, 



o A 



