﻿vom 17. Januar 1878. 35 



welche singulare Punkte der Fläche F sein müssen, weil in jedem 

 dieser beiden Punkte die Fläche F zwei verschiedene Tangential- 

 ebenen hat, nämlich die die beiden Ebenen des betrachteten Ebenen- 

 paares. Es sind auch die so bestimmten singulären Punkte keine 

 anderen als die schon gefundenen. Die zwölf Knotenpunkte 

 der Fläche F ordnen sich also in sechs Paare, deren je- 

 des in einer der sechs geraden Linien liegt, in welchen 

 zwei zusammengehörende singulare Tangentialebenen 

 sich schneiden. 



Untersucht man die Durchschnittspunkte der Wendungscurve 

 zwölfter Ordnung mit irgend einer der erzeugenden Flächen zwei- 

 ter Ordnung, so hat man die Gleichungen der Wendungscurve: 



P— Q\ + RX 2 —SX d = 



Q — 2RX-h3S\ 2 = (17) 



R — 3 SX = 



mit der Gleichung der erzeugenden Fläche 



P— Q m -t- 22 fA 2 — S iJ = (18) 



zu verbinden. Aus diesen vier Gleichungen erhält man zunächst 



O-/a) 3 =0, (19) 



woraus folgt, dass ?. = \x sein muss, und dass stets je drei der 

 gesuchten Durchschnittspunkte in einen zusammenfallen müssen. 

 Für >, == <x erhält man aber acht Durchschnittspunkte, welche sich 

 als die acht gemeinsamen Punkte dreier Flächen zweiter Ordnung 

 bestimmen, und in jedem dieser acht Punkte hat die Fläche 

 zweiter Ordnung mit der Wendungscurve zwölfter Ord- 

 nung eine dreipunktige Berührung. 



Giebt man dem \x einen der sechs Werthe des X, welche der 

 Gleichung & = genügen, so dass die erzeugende Fläche zweiter 

 Ordnung zu einem der sechs Systeme zweier zusammengehörender 

 singulären Tangentialebenen wird, so kommen von den acht drei- 

 punktigen Berührungen auf jede der beiden Ebenen vier, also jede 

 der zwölf singulären Tangentialebenen hat mit der Wen- 

 dungscurve vier dreipunktige Berührungen, oder was das- 



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