﻿vom 14. Februar 1878. 101 



III. 



Durch den Inhalt der oben citirten Abhandlung Jacob i's 

 waren in Verbindung mit der angeführten Bemerkung des Hrn. 

 Liouville eigentlich schon damals sowohl die Sylvesterschen com- 

 binatorischen Ausdrücke als auch die Cayley sehen Determinanten- 

 formen für die aus der Kettenbruchs-Entwickelung hervorgehenden 

 Restfun ctionen vollständig gegeben und erwiesen. Vermittelt wur- 

 den die Beziehungen zwischen diesen verschiedenen Formen der- 

 selben Functionen durch jene Cauchysche Aufgabe, eine Reihe ge- 

 gebener "Werthe durch eine gebrochene rationale Function darzu- 

 stellen, da diese Aufgabe einerseits mit Hülfe einer Kettenbruchs- 

 Entwickelung und andrerseits sowohl durch die combinatorische 

 Cauchysche Formel als auch durch die Determinanten-Ausdrucke 

 Jacob i's gelöst wird. Aber die Übereinstimmung der Cauchy sehen 

 und Jacobischen Ausdrücke lässt sich auch in folgender einfachen 

 Weise direct darlegen*). 



Durch Zusammensetzung der beiden rechteckigen Systeme 



i, $* v ^ fh=G,%...m\ 



U ^ k ' V ^ k U = 0,l,...nj 



entsteht für m'ln das System 



Tc = n 



2 M * «*£*»!* (<7,A = 0,l,...m). 



fc=o 



Bildet man hieraus die Determinante, so kommt 



(H) PlVa&d = sn« a » a n(f„-^)^-ri , 



I * = o I (0 « «,ß 



(g,h = 0,1,. ..m) («,.ß =i ,ii,...i m ; <*<£) 



wo sich die Summation rechts auf alle Systeme von (m -f- l) ver- 

 schiedenen Zahlen i , tj , ... i m bezieht, welche aus den Zahlen 

 0,1,...» ausgewählt werden können. Setzt man nun 



Wo = 1 , £o = x , *<o = 

 und für k = 1,2, ...n: 



*) Vgl. den 4. Abschnitt der oben citirten Jacobischen Abhandlung. 



