﻿vom 14. Februar 1878. 109 



- 9ift + A = ° > /i ~ 9iU +/ 3 = o , ... A_! - g n f n = 



durch Elimination von /i 5/2 » «.v./» hervorgehende Resultante dar- 

 gestellt, also in jener besonderen Determinantenform, welche dem 

 oben mit (K°) bezeichneten Systeme angehört. Die Determinante 



!*£*&**— C ik | (i,k = l,2,...n) 



selbst wird dabei abgesehen von einem constanten Factor gleich 

 dem Nenner des Bruches 



1 

 1 



9i — 



92— _ 1 



9n 



und es kann hiernach auf die Gleichung (M) der Sturm sehe Satz 

 in seiner ursprünglichen Form angewendet werden. Denn die 

 Formel (B) geht in bekannter Weise für x x = — 00 und a* 2 = + 00 

 in folgende über: 



wo sich die Summation links auf alle reellen Wurzeln £ der 

 Gleichung /(#) = bezieht. Ist nun, wie hier, v — n d. h. gleich 

 dem Grade der Gleichung (M) und sind dann überdies sämmtliche 

 Grössen g' h positiv, so ist die rechte Seite in (B') gleich n, und 

 es müssen daher alle n Wurzeln £ reell sein. Die Grössen g' h 

 sind aber in Anbetracht der Gleichung 



XS k Vl = %gW h (* = i,2,...*) 



k k 



dann und nur dann sämmtlich positiv, wenn die Grössen S k von 

 derselben Beschaffenheit sind, und es findet sich daher, meines 

 Wissens zum ersten Male, der Beweis, dass die Wurzeln jeder 

 Gleichung 



\xS k Z tk -C ik \ = (,-,* = l,2,...n) 



mit positiven S sämmtlich reell sind, unmittelbar auf den Stur na- 

 schen Satz gegründet*). 



*) Nach dem angegebenen Verfahren lässt sich z. B. für die bekannte 

 Hauptaxen -Gleichung im Falle n — 3 die Transformation in jene besondere 

 Determinantenform von S. 104 leicht ausführen. 



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