﻿110 Gesammtsitzung 



Für den hier besonders hervorgehobenen Fall, dass die Grössen 

 g h sämrntlich positiv sind, bedurfte es keiner näheren Untersuchung 

 der in der Formel (B ') vorkommenden Function f x (x), welche den 

 Zähler jenes Kettenbruchs bildet. Dass sie in diesem Falle in 

 der That die bei Sturm vorkommende abgeleitete Function /' (#) 

 zu ersetzen geeignet ist, erhellt in ganz directer Weise aus der 

 Gleichung 



(N) /,/_//; = k x g ' k f k , 



k=l 



welche zeigt, dass bei lauter positiven Grössen g' k die Functionen 

 fi(x) und/' (x) für alle reellen Wurzeln x = £ gleiches Vorzeichen 

 haben. Die Gleichung (N) ergiebt sich, wenn man 



/fc_,(aO — g k {x)f k {x) +/ H iW = 



erst differentiirt, dann mit f k (x) multiplicirt, demnächst g k f k durch 

 / fc _i H-/a+i ersetzt und endlich in Beziehung auf alle Werthe von 

 k summirt. Für den allgemeinen Fall aber ist noch zu bemerken, 

 dass überhaupt die Anzahl der positiven Grössen S k mit der An- 

 zahl der positiven Grössen g' k übereinstimmen muss. Setzt man 

 ferner den Kettenbruch 



1 



9x — 



92 __1 



9n 



gleich — -^ und nimmt hierbei den Coefficienten von x n in /(#) 



gleich Eins, so finden sich die beiden Functionen f(x) und f x (x) 

 auf Grund der Transformationsgleichung 



X {x S k S tt - C ik ) v ( r k = 2 g k v\ - 2 X v„ 9kH 



4,& k h 



(i,k = l,2....n; h = 1, 2, ...w— 1) 



und in Gemässheit der obigen Ausführungen auch in folgender 

 Weise bestimmt: 





(t,Jfc = l,2,...n) 



und es ist auch mit Rücksicht auf die Gleichungen (Q) und (Q') 



