﻿116 Gesammtsitzung 



zum Werthe der Charakteristik hinzu, und da diese Summe sich 

 auf alle Wurzeln x der Gleichung R = bezieht, so lässt sich 

 der Werth derselben unmittelbar durch den Sturm sehen Satz be- 

 stimmen. Der specielle Fall des Sturm sehen Satzes selbst tritt 

 ein, wenn man, wie schon im Anfang dieses Abschnittes herror- 

 gehoben wurde, 



setzt, so dass nur die Coefficienten der einen Function und zwar 

 in linearer Weise von x abhängig werden. 



Nimmt man für die Coefficienten von cp(z) und •$/ (z) be- 

 stimmte, eindeutige, reelle Functionen von v reellen Veränderlichen 

 x x \ ä? 2 , ... #„, so entspricht jedem Punkte der ^fachen Mannigfal- 

 tigkeit (x) ein bestimmtes Funetionensystem (qc,\|/), und jene 

 Mannigfaltigkeit (x) sondert sich nach den verschiedenen Werthen 

 der Charakteristik % (cf , \l) in verschiedene Gebiete, welche durch 

 die (u — l) fache Mannigfaltigkeit R = von einander abgetrennt 

 werden. Beim Durchgang durch R — nimmt den obigen Ent- 

 wicklungen gemäss die Charakteristik um eine p]inheit zu oder 

 ab, je nachdem an diesen Punkten, die aber nicht mehrfache Punkte 

 von R = sein dürfen, der Werth des Productes R . R x zu- oder 

 abnimmt, und da diese Punkte als Aus- oder Eintrittsstellen von 

 einander unterschieden werden können, wenn man die Gebiete, wo 

 R . R t <C ist, als innere Theile und die, wo R.RjX) ist, als 

 äussere Theile bezeichnet, so lässt sich der obige Satz in folgender 

 Weise formuliren: 



Passirt man auf dem Wege aus einem Gebiete mit 

 der Charakteristik %( l) in ein solches mit der 

 Charakteristik % (2 )im Ganzen 3( Austritts- und @ 

 Eintrittsstellen, so ist y/ 2) — % (1) = 91 — @. 

 Zur Ermittelung des Werthes der Charakteristik für jedes gegebene 

 Funetionensystem (cp , \L) bedarf es hiernach nur der Untersuchung 

 des (y — l)fach ausgedehnten Gebildes R = und der Bestimmung 

 des Vorzeichens, welches der Werth von R x in den Punkten dieses 

 Gebildes hat. Abgesehen von den speciellen Fällen, wo die Cha- 

 rakteristik im Ganzen nicht mehr als zwei Werthe annimmt, muss 

 das Gebilde R — sich in eine Anzahl von Zweiggebilden sondern; 

 denn es müssen dann verschiedene Arten von Gebietstheilen vor- 

 handen sein, in denen R dasselbe Vorzeichen hat. Diese Gebiets- 



