﻿vom 14. Februar 1878. 119 



gleich Eins und in Folge dessen die Grössen A ik als Elemente 

 eines symmetrischen Systems angenommen, so folgt unmittel- 

 bar, dass die Wurzeln der Gleichung (p{z) = stets reell sind, 

 da dies offenbar der Fall ist, wenn man sämmtliche Elemente A ik 

 mit alleiniger Ausnahme der Diagonalgrössen A kk gleich Null setzt. 

 Nimmt man ^(z) — <p(. z ) ~*~ v'C^)? so wird die Charakteristik 

 gleich der halben Anzahl der reellen Wurzeln der Gleichung 

 cp (z) = o und ± R die Discriminante derselben. Den vorstehenden 

 Auseinandersetzungen gemäss ändert sich also bei Variirung der 

 Coefficienten der Gleichung die halbe Anzahl der reellen Wurzeln 

 da, wo die Discriminante ihr Zeichen ändert, in der Weise, dass 

 die positive oder negative Einheit 



-W0M«S 



hinzutritt. Dabei bedeutet cp" (z) die zweite Ableitung von cp(z), 

 und für z ist die gemeinschaftliche Wurzel von cp(z) = und 

 q>' (z) = zu setzen. Denkt man sich die Coefficienten von cp(z) 

 von v Variabein x 1 , x 2 , ... x v abhängig, so liegen die Gleichungen 

 cp(z) = o gewissermafsen in verschiedenen durch die Anzahl der 

 reellen Wurzeln charakterisirten Gebieten der Mannigfaltigkeit (x). 

 Beim Fortgang von einem Gebiete in irgend ein anderes vermehrt 

 sich diese Anzahl um den Betrag der auf alle passirten Nullwerthe 

 von R erstreckten Summe 



2%[R x .hR-\, 

 wo 



R = I S i+k | 5 -ßi = | s g+h I \Uk = oll,.'.n-l) 



ist und s k die Summe der &ten Potenzen der Wurzeln von cp = 

 bedeutet. 



Um die vorstehenden Entwickelungen an einem einfachen Bei- 

 spiele in ein klares Licht zu setzen, setze ich 



cp(z) = 'Sx 1 -h 4:X 2 Z — 6# 3 2 2 ■+• z 4 



D = {.x x -f- x\f— (3^1^3+4— 4) 2 = x^—Zxlf— 2x\x 3 {Zx x — x\) — xi, 



A = — Xi x z — xl + Sxl . 



Dann sind R und R x abgesehen von Zahlenfactoren gleich D und 

 jD u und die Anzahl der reellen Wurzeln der Gleichung cp(z) = 0, 

 welche eine allgemeine Gleichung vierten Grades repräsentirt, be- 

 träft nach dem Sturm sehen Satze: 



