﻿120 Gesammtsitzung 



[DD,] 4- [> 3 A] + M + 1 • 



Betrachtet man nun x x , x 2 , £ 3 als (rechtwinklige) Coordinaten , so 

 gehört jedem Punkt im Räume eine bestimmte Gleichung vierten 

 Grades 9 = an, und die abwickelbare Fläche D = 0, welche 

 die Discriminantenfläche heissen möge, theilt den Raum in drei 

 verschiedene Gebiete, die, je nachdem die Anzahl der Paare ima- 

 ginärer Wurzeln gleich 0,1,2 ist, mit G , G x , G 2 bezeichnet wer- 

 den sollen. Die beiden Gebiete G und G 2 können dabei als „innere" 

 von der Discriminantenfläche umschlossene Raumtheile betrachtet 

 werden und G x umfasst dann den gesammten „äusseren" durch 

 die Ungleichheit D < vollständig charakterisirten Raum. 



Die beiden singuiären Curven der Discriminantenfläche, näm- 

 lich die Wendecurve 



x y -h x\ = , x\ — ±x\ = 



und die Doppelcurve 



x-i — 3 £3 = , #2 = 



bilden den vollständigen Durchschnitt der Flächen D = und 

 D x = 0. Die Wendecurve ist der Ort der Gleichungen mit drei 

 gleichen Wurzeln; die Parabel, welche die Doppelcurve bildet, ist 

 der Ort der Gleichungen mit zwei Paaren gleicher Wurzeln, und 

 zwar sind diese Paare in dem oberen Theile der Parabel, wo 

 x 3 > ist, reell, in dem unteren Theile imaginär. In diesem letz- 

 teren Theile verläuft die Parabel innerhalb des Gebietes G 2 als 

 isolirte Curve, während sie in ihrer oberen Hälfte auf der Discri- 

 minantenfläche liegt und die Grenze zwischen den beiden Gebieten 

 G und G 2 bildet. Das Gebiet G liegt ganz in der oberen Hälfte 

 des Raumes, wo x 3 > ist, hat in der Ebene x 3 = selbst nur 

 eine Spitze und dehnt sich nach oben zu immer weiter aus. Die 

 Spitze, der Anfangspunkt der Coordinaten und der Schnittpunkt 

 der beiden singuiären Cürven, ist der Ort der einzigen Gleichung 

 mit vier gleichen Wurzeln. Das Gebiet G 2 liegt ganz in derjenigen 

 Hälfte des Raumes, wo x x > ist, und reicht bis in die Ebene 

 x x = nur in dem unteren Theile (x 3 < 0) und zwar längs der 

 Linie x x = , x 2 = heran. Eine nähere Vorstellung von der 

 Gestalt der Discriminantenfläche und der dadurch gegebenen Con- 

 figuration der Gebiete G bildet man sich leicht mit Hülfe von 

 ebenen Schnitten, in denen a? 3 constant ist. Aber schon die hier 



