﻿Sitzung der phys.-math. Klasse vom 25. Nov. 1%78. 111 



25. November. Sitzung der physikalisch -mathe- 

 matischen Klasse. 



Hr. Kummer machte folgende Mittheilung: 

 Neuer elementarer Beweis des Satzes, dass die Anzahl 

 aller Primzahlen eine unendliche ist. 



Der erste sehr einfache und sinnreiche Beweis dieses Satzes, 

 welcher von Euklid herrührt, stützt sich auf keine anderen Hülfs- 

 mittel, als auf die Sätze über die Zerlegbarkeit aller Zahlen in 

 Primfaktoren, während die späteren Beweise von Euler und Ande- 

 ren die Hülfsmittel der Analysis namentlich der unendlichen Rei- 

 hen und Produkte in Anwendung bringen. Da nun ein zweiter 

 ganz elementarer Beweis, insofern er die vorliegende Frage von 

 einer neuen Seite beleuchtet, einiges Interesse haben möchte, so 

 will ich einen solchen der Akademie mittheilen, welchen ich schon 

 seit einer Reihe von Jahren meinen Zuhörern in der Vorlesung 

 über Zahlentheorie vorgetragen habe, welcher aber noch nicht an- 

 derweit veröffentlicht ist. 



Gesetzt die Anzahl aller in der unendlichen Zahlenreihe ent- 

 haltenen Primzahlen sei eine endliche, so müsste auch das Pro- 

 dukt aller Primzahlen, welches ich mit P bezeichne, eine endliche 

 bestimmte Zahl sein: 



P == 2.3.5.7.11.13 p. 



Diese Zahl P aber müsste die ganz besondere Eigenschaft haben, 

 dass keine von allen vorhandenen Zahlen zu ihr relative Primzahl 

 sein könnte, mit Ausschluss der Eins. Weil nämlich jede belie- 

 bige Zahl in sich als ein Produkt von Primzahlen darstellen lässt, 

 so müssten alle in m enthaltenen Primzahlen nothwendig auch ge- 

 meinschaftliche Faktoren von m und P sein. Betrachtet man jetzt 

 nur alle Zahlen, welche kleiner als P sind und relative Primzah- 

 len zu P. so müsste, weil die Zahl Eins die einzige dieser Zahlen 

 wäre. 



cp(P) = 1 



sein, wo cp das bekannte Gaussische Zeichen für diese Anzahl ist. 

 Nun ist aber nach bekannten elementaren Regeln für die Bestim- 

 mung der Zahl cp(m) 



<P(P) = (2-l)(3-l)(5-l)(7-l)(ll-l)(l3-l) (p-1), 



