224 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



F(4n) = i^(4n) , ¥(n) = iF(4:7i) 



G(4n) = F(4n)H- G(n) 



0(471+1) = F(4n+l) , G(47z + 2) = F(4ri + 2) 



3 G (8 71 + 3) = 4 F (8 w 4- 3) , G (8 n + 7) = 2 F (8 7i + 7) 



E(n) = 2F(n)— G(n) . 



Alsdann ergeben die a. a. O. mit II, III, V, VI bezeichneten For- 

 meln den Werth der Summe 



Xs^F(n — h') (s = ±l), 



erstreckt über alle Zahlen A = 0, d= 1, + 2 , ... , deren Quadrat 

 kleiner als die positive Zahl n ist, gleich 



i,i(«-i) |<|,(^)_l_£^(^)} oder J-(i + £)$(n;, 



je nachdem n ungrade oder das Doppelte einer ungraden Zahl ist. 

 Aber der Werth der Summe 



X(—iyF(n — W), 



h 



erstreckt über alle Zahlen A = 0, ± l, + 2, ..., deren Quadrat 

 kleiner als ^?i ist, geht aus den a. a. 0. aufgestellten Formeln 

 nur für den Fall hervor, wo n ^ 3 mod. 4 ist, und zwar ist die- 

 ser Werth dann, wie sich durch Combination der Formeln lY, V, 

 und VI ergiebt, gleich 



Es ist mir nun gelungen, die Lücke, welche sich hier zeigt, aus- 

 zufüllen, und den Werth jener Summe auch für die Fälle n ^ 1 

 und 71 ^ 2 mod 4 zu ermitteln. 



Bezeichnet man mit ??i eine positive ungrade Zahl, so hat man 

 gemäss den Formeln II und III meines oben citirten Aufsatzes 



XF<i2m — W) = XF{27n — (2h-hiy) = ^(m) , 



h 7t 



WO die Summationen über alle Zahlen 7^ = 0, ± 1, it 2, ... aus- 

 zudehnen sind, Avofür die Argumente der Function F positiv sind. 

 Multiplicirt man diese Gleichungen mit g"^"* und summirt alsdann 

 über alle positiven ungraden Zahlen m, so erhält man vermöge der 

 Formel 39. pag. 106 von Jacobi's Fundamental nova theoriae Func- 

 tionum Ellipticarum : 



