226 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



ü{n) oder (— l)^^"~^^($(n) — ^(n)) 



ausgedrückt, je nachdem n durch 4 dividirt die Reste 1, 2 oder 

 den Rest 3 lässt, und es ist auch überhaupt, wenn w irgend eine 

 achte Wurzel der Einheit bedeutet, die Summe 



1:0,^*' F (n — Ä^) (A = 0, ± 1, ±2, ...; A2 < w) 



h 



durch die arithmetischen Functionen S2 (n) , $ (w) , ^ (w) darstellbar. 

 Der zahlentheoretische Character der Function Q.{n) unter- 

 scheidet sich zwar wesentlich von dem der Functionen $(w) , "^{n)^ 

 aber es ist doch auch eine gewisse Analogie zwischen diesen bei- 

 den Arten von Functionen zu bemerken. Da nämlich 





K^ 



XÜ{4.n-^2)q-^ 21/-. l^- 



ist, so kommt, wenn man die erste Gleichung mit 1/ und die 



[2K 

 zweite mit 1/ — multiplicirt 



2;P-(47H-l)^^+"i"^"i = 2;ß(47i-h2)^^+"i (n,wi== 0,1,2,...), 



und beide Doppelsummen sind mit Hilfe der Formel (13) p. 104 

 der Fundamenta durch 



,Xi-,T^^^h±}l!t.Vl („.„, = 0,1,2,...) 



oder 



2 2;(— l)'^$(2ni+l)^'*'+"i (;2,ni= 0,1,2,...) 



darzustellen. Hieraus resultiren die Gleichungen 



2;^(4?i + 2 — ^2) = %^{4.n-^2 — u') = 2X(—iy^(2n-{-l — 2h'^) 



g u h 



(^ = 0, ±2,±4,...; M = ±l,d::3,±5,...; /i = 0, ± 1, ± 2, ...) 



und es folgt die Recursionsformel 



