vom 19. April 1875. 227 



3 2;r2(4n+ 2 — 4A^) = 2 2) (— l/'* (4n + 2 — 4Ä^) , 



h h 



(A==0, ±1, ±2, ...; 4«+2>4/i2). 



in welcher sich offenbar eine gewisse Analogie zwischen den Func- 

 tionen Ü und $ zu erkennen giebt. ^) Eine formale Analogie zwi- 

 schen den Functionen ß und T zeigt sich aber auch darin, dass 

 für s = ( — lynin+i) jjj (jgjj ^j.gi Fällen n ^ 1, 2, 3 mod. 4 resp. 



wird, wenn man die Summation links auf alle positiven ungraden 

 Zahlen m erstreckt, für welche n -\- sm"^ ein vollständiges Quadrat 

 ist, und dabei jede Zahl w, für welche 7i4-£m^>>0 ist, zweimal 

 nimmt. 



Da die Functionen 12(47i + l) , ^(4^1 + 2) als Entwickelungs- 

 coefficienten auftreten, wenn die Quadrate der Ausdrücke 



^ ^2n^+n ^ ^_ ^y ^7? ^ ^ ^in'^+2n ^ (_ j)« q^n (n = 0,±l,± 2, ...) 



n n n n 



nach Potenzen von q entwickelt werden, so erhält man mit Hilfe 

 der Formeln (5) (6) pag. 103 der Fundamenta für die beiden 

 Reihen 



2;^(4n+l)^'"-'\ 5S2(4n + 2)^'"^' 

 resp. die beiden Ausdrücke 



1 m 1 + ^4"^ J m 1 — 5^"* 



)^m 



)^m 



(m = 1, 3, 5, ...) 



und hieraus die für jede positive, nicht durch 4 theilbare Zahl n 

 geltende Relation: 



^) In der einfacheren Gestalt, welche der obigen Eecursionsformel auf 

 der nächstfolgenden Seite gegeben wird, tritt die Analogie zwischen den 

 Functionen Q und ^ noch deutlicher hervor. 



