228 Sitzung der 'physikalisch-mathematischen Klasse 



ü{n) = 2(Z-\-{—ir)X{—\y(p{h)cp{n — U) (0^Ä<|), 

 h 



wenn, wie in meinem oben citirten Aufsatze in Borchardt's Jour- 

 nal, (p{n) der Betrag ist, um welchen die Anzahl der Divisoren 

 von der Form 4Ä; + 1 die Anzahl derjenigen von der Form 4^—1 

 übersteigt und 95(0) = ^ gesetzt wird, so dass überhaupt 4i(p(n) 

 die Gesammtanzahl der Darstellungen von n als Summe zweier 

 Quadrate bedeutet. 



Da jeder Darstellung einer ungraden Zahl n als Summe 

 zweier Quadrate n = Z^ 4- m^ eine Darstellung von 2n nämlich 

 2w = (/ H- w)^ + (Z — mf entspricht, so lässt sich die Function 

 ^(2w) unmittelbar auf ^{n) reduciren, und zwar wird 



Bemerkt man überdies, dass Q,{2n) und ^(n) gleich Null sind, so- 

 bald 71 ^ 3 mod 4 ist, so lässt sich die oben aufgestellte Recur- 

 sionsformel auf die einfachere Gestalt bringen: 



d^X{—iy^(m—2h^) = X(—iyi(m — 2h^) (A = 0, ±1, ±2,...), 

 h h 



wo links für m ^ ± 1 mod 8 das obere, für w^ ^ ± 3 mod 8 aber 

 das untere Zeichen zu nehmen ist. — Die Function ^(n), wel- 

 che nunmehr nur für ungrade Zahlen n zu betrachten ist, kann 

 auch in einfacher Weise durch die in der Zahl n enthaltenen com- 

 plexen Primfactoren von der Form a ~\- hi dargestellt werden. 

 Ist nämlich 



w = r^ («1 -f- &i i) i~ (a^-\-b2i) ^^ , 



wo r nur reelle Primzahlen von der Form 4k — 1 enthält und 

 «1 4- &ii , «2 + ^2^ 5 ••• lauter complexe Primzahlen in der primären 

 Form bedeuten, d. h. lauter solche, für welche a^l mod 4 ist,^) 

 so wird 



n(n) = (—1)^'^' ^h'U^-^ ^^ ^-^ ^^- (k=l,2,...) 



k 2bj,i 



oder, wenn — -^ = e^^* gesetzt wird, 



a. — bi.t 



^) Der Ausdruck „primär'' ist hier im Dirichletschen Sinne genommen 

 (cf. Crelle's Journal Bd. 24. pag. 301). 



