vo7n 19. April 1875. 231 



Durch Subtraction der Gleichung (@) von (53) erhält man, 

 wenn q^ an Stelle von q genommen wird: 







und also 



42;c„F(27i + l)g2« + l = ^,{q)^,{q)^,{q') 







4a2fe)ic,F (271 + 1)^2« + ! _ ^[{q)^,{q') , 



WO für 



n^ — 1, + 1, 0, 2 mod 4 



resp. c„ = 0, — 2, 1, 1 



zu nehmen ist. Vergleicht man hierin die Coefficienten der ver- 

 schiedenen Potenzen von q mit einander und benutzt alsdann die 

 Relation 



12%'E.(——\ = *(sO (Ä=l,3,5,...), 



so gelangt man zu der für jede Zahl s' = SÄ; H- 5 geltenden For- 

 mel: 



(D) 32:^f|^'-^^'J = $(,')_ 3 S^(s'), 



in welcher die Summation nur auf diejenigen ungraden Zahlen h zu 

 erstrecken ist, für welche das Argument der Function F durch 8 

 dividirt den Rest 3 lässt. Für s' = 325 ist z. B. nur h = 6 und 

 h = 11 zu nehmen und die zugehörigen Werthe sind 



F(75) = 7 , F(51) = 6 , 



während aus den Darstellungen 



325 = 1^ H- 18^ = 15^ + 10^ = 17^ -h 6^ 



^(325) = 2 (1 — 15 -h 17) 



resultirt und $(325) = 434 wird. 



Um die durch Einführung der Function ü ermöglichte Ver- 

 vollständigung meiner älteren Formeln genauer darlegen zu kön- 

 nen, muss ich zuvörderst einige Verbindungen aus jenen Relatio- 

 nen I bis VIII herleiten, welche ich in meinem Aufsatze im 57. 

 Bande von Borchardt's Journal angegeben habe. Wird aus den 

 Formeln IV, V, VI die durch 



