vo7n 19. April 1875. 235 



Formel ergebenden Combination der meinigen wurde mir aber we- 

 sentlich erleichtert durch die Erkenntniss, dass Hr. Hermite bei 

 seinen bezüglichen Betrachtungen nur zu solchen Formeln gelangen 

 konnte, für welche die Ausgangszahl n der verschiedenen Deter- 

 minanten 



— n , — (n — l') , — (71 — 2^) , — (n — 3') , ... 



ein vollständiges Quadrat ist. Übrigens habe ich schon in meiner 

 Notiz im Monatsberichte vom Mai 1862 ausdrücklich hervorgeho- 

 ben, dass in den mehrerwähnten acht Formeln alle diejenigen ex- 

 plicite enthalten sind, welche aus der Theorie der singulären Mo- 

 duln der elliptischen Functionen hergeleitet werden können, näm- 

 lich dadurch, dass man in irgend welchen Modulargleichungen die 

 beiden Moduln einander gleich setzt. Diese Quelle arithmetischer 

 Relationen für die Classenanzahlen quadratischer Formen war also 

 mit jenen acht Formeln erschöpft, aber andre Quellen liefern doch, 

 wie ich in den vorstehenden Entwickelungen gezeigt habe, noch 

 neue ähnliche Relationen, die freilich — wie bemerkt werden muss 

 — zur Summation der Reihen von Classenanzahlen höhere arith- 

 metische Functionen erfordern als jene elementaren Divisorensum- 

 men, welche ausschliesslich in meinen älteren Formeln auftreten. 

 In allen diesen Relationen wird nämlich ein Aggregat von Classen- 

 anzahlen quadratischer Formen von negativen Determinanten, die 

 eine arithmetische Reihe zweiter Ordnung bilden, unmittelbar durch 

 eine zahlentheoretische Function des Anfangsgliedes ausgedrückt, 

 und die Natur dieser Functionen ist bei den neueren Formeln eine 

 wesentlich andere und complicirtere als bei den älteren. Es bleibt 

 daher immer noch möglich, dass ausser jenen acht Formeln über- 

 haupt keine andern existiren, in denen nur die einfacheren, aus 

 den Divisoren zusammengesetzten zahlentheoretischen Functionen 

 zur Summation von Classenanzahlen gebraucht werden, dass also 

 jene Formeln nicht bloss in Bezug auf die Methode, mittels deren 

 sie ursprünglich hergeleitet sind, sondern auch an und für sich 

 ihrem Inhalte nach ein abgeschlossenes System von Relationen 

 bilden. Bis jetzt wenigstens hat. der Weg, welchen Hr. Hermite 



equation, which is entirely distinct in form, and as it would seem in sub- 

 stance, from those of M. Kronecker." 



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