268 Gesammtsitzung 



Schon in einer Abhandlung aus den Jahren 1744 — 1746 

 Theoremata circa divisores numerorum in liac forma pa^zkiqb'^ con- 

 tentorum, welche im XIV. Bande der Petersburger Commentarien 

 p. 151 veröffentlicht und im I. Bande der Commentationes Arith- 

 meticae' collectae^) p. 35 sqq. wiederabgedruckt ist, giebt Euler 

 eine Reihe von Lehrsätzen und Bemerkungen^), welche das Reci- 

 procitätsgesetz im Wesentlichen enthalten; denn es ist darin als 

 Resultat von Beobachtungen angegeben, dass die Primtheiler von 

 a'^-hNb'^ oder- a^ — Nb^ und diejenigen Primzahlen, welche Nicht- 

 theiler eines solchen Ausdruckes sind, sich nach gewissen Linear- 

 formen 4:Nmdr:a sondern, und es ist auch der Zusammenhang der 

 Werthe von a mit den quadratischen Resten von N ausdrücklich 

 hervorgehoben. So heisst es in den Annotationes 14 und 16: 



„Posito ergo 4:Nmzkia pro forma divisorum generali nu- 

 merorum in hac expressione aa — Nbb contentorum, lit- 

 tera a plerumque plures significabit numeros, inter quos 

 unitas semper continetur .... Erunt ergo valores ipsius 

 a numeri impares primi ad iV, minores quam 2iV, horum- 

 que numerorum oranium imparium et primorum ad N et 

 minorum quam 2A^, semissis tantum praebebit idoneos va- 

 lores ipsius «; reliqui exhibebunt formulas, in quibus 

 plane nuUus continetur divisor . . . . Sicut autem unitas 

 perpetuo inter valores ipsius « reperitur, ita etiam quivis 

 numerus quadratus, qui sit primus ad 4iV, valorem ido- 

 neum pro u suppeditabit." 

 Nimmt man nun die einfache Bemerkung hinzu, dass für eine 

 Primzahl N schon die ersten \{N — l) ungraden Quadratzahlen, 

 da sie mod. N unter einander incongruent sind, so viel geeignete 

 Werthe (valores idoneos) für a liefern, als nach Euler überhaupt 

 erforderlich sind, so ergiebt sich unmittelbar das Reciprocitätsge- 

 setz; denn es folgt alsdann, dass N quadratischer Rest von jeder 

 Primzahl sein muss — aber auch nur von einer solchen — wel- 

 che, positiv oder negativ genommen, einem Quadrate mod. 4iV con- 

 gruent ist. 



1) Petersburg 181:9. 



2) Man beachte namentlich das Theorema 27 und die Aimotafiones 3, 

 4, 7, 13, 14 und 16. 



