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Legendre doch nicht, wie bisher vielfach geschehen ist, das Ver- 

 dienst zugeschrieben werden kann, jenes Gesetz zuerst aufgefunden 

 und aufgestellt zu haben. Dagegen gebührt ihm das Verdienst, 

 einen Theil des Reciprocitätsgesetzes zuerst und zwar mehr als 

 ein Jahrzehnt vor Gauss wirklich bewiesen zu haben. Denn in 

 eben jener Abhandlung von 1785 erörtert Legendre die Bedin- 

 gungen der Lösbarkeit der Gleichung ax^ -{- by'^ = cz^ in ganzen 

 Zahlen x , ij , z und zeigt, dass, wenn p irgend eine positive Prim- 

 zahl und q eine solche von der Form 4n+3 bedeutet, die Glei- 

 chung 



x"^ -\- sp'if = q^ (s = ±l) 



nach einer Methode von Lag ränge stets lösbar sein müsste, wenn 

 nur die beiden Bedingungen 



©=■■ ('f)=- 



gleichzeitig erfüllt wären. Da aber andrerseits die Gleichung of- 

 fenbar unmöglich ist, wenn £ = j j genommen wird, so schliesst 



Legendre, dass für diesen Werth von ? 



aus der Annahme ( - | = +1 die Folgerung ( — | = 

 und aus der Annahme ( — | = — 1 die Folgerung ( - | 



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zu ziehen ist, und dieser Schluss ist, wie schon Gauss bei seiner 

 eingehenden Kritik des Legendr e'schen Beweises in den Artt. 

 296 und 297 der Disquisitiones Arithmeticae hervorgehoben hat, 

 vollkommen begründet. Bei den Ausführungen aber, welche sich 

 auf die übrigen Fälle des Reciprocitätsgesetzes beziehen, nimmt 

 Legendre Primzahlen von gewissen Eigenschaften zu Hilfe, ohne 

 darthun zu können, dass dergleichen Primzahlen existiren. Er ist 

 desshalb weder a. a. O. zu einem vollständigen Beweise des Satzes 

 gelangt, noch später im Essai sur la theorie des nomhres'^)^ wo es 

 ihm nur gelungen ist, die früheren Voraussetzungen über die Exi- 

 stenz gewisser Primzahlen wesentlich einzuschränken, nicht aber 

 sie überhaupt entbehrlich zu machen. 



1) Seconde edition. Paris 15. Octobre 1808. p. 198 et suiv. 



