vom 19. Juli 1875. 501 



und diese Formeln gelten für jede beliebige ganze Zahl s, auch 

 für s = 0. Sie verwandeln sich bei Anwendung der Transforma- 

 tions-Gleichungen No. 16 sqq. p. 48 der Fundamenta in folgende: 



"■"^"^ Ars 7t . 4:rK r=zn^i 4:rK-\-2sKH 

 2 sin sin am = ü sin am 



n n r=o n 



r = n-i ^^g^ 4^^ r = n-i ArK-\-2sK'i 



^0,0^ cos am = ff2sincoam ? 



rz=.Q n n r = 71 



welche auch direct auf dem angegebenen Wege mit Hilfe der Ent- 

 wickelungen No. 15, 19 und 21 pag. 101 der Fundamenta verificirt 

 werden können. Endlich führt dieselbe Methode zu der Gleichung 



^ . . ArK-i-AsK'i 



II 2;a)4^*sinam = , 



n 



in welcher die Summation entweder auf die n Werthe r = o, l,...n — 1 

 oder auf die n Werthe s = 0,l,...n — 1 zu erstrecken ist. Die Glei- 

 chung II kommt schon bei Abel in Crelle's Journal Bd. IV p. 241 

 (Oeuvres completes I p. 331) vor, nur dass a. a. O. die mit sin am mul- 

 tiplicirten ntenWurzeln der Einheit nicht näher bestimmt sind. Die 

 Gleichung repräsentirt, wenn in Beziehung auf r summirt wird, (n — 1) 

 Gleichungen für die (n — l) Werthe s = l,2...7z — 1 und ergiebt also 

 die wten Wurzeln der Einheit rational (als Quotienten von Deter- 

 minanten) dargestellt durch die Wurzeln der betreffenden Theilungs- 

 gleichung der elliptischen Functionen. — Die Formeln I und II 

 lassen sich auch aus der Jacobi'schen Formel No. 1 im 4. Bande 

 des Crelle'schen Journals pag. 190 ableiten oder auch aus der- 

 jenigen, welche Hr. Her mite im 32. Bande desselben Journals 

 p. 287 angegeben hat, und welche zu jener Jacobi'schen Formel 

 führt. 



Die oben zuerst entwickelte Formel (51) geht mit Benutzung 

 der letzteren von den beiden Formeln I in folgende über: 



BXß „ ^^' ^^ . 4rs7r ArK 



o . - — = ^cos- cos am ? 



« Xüo-^^' Vxu^ r n n 



r 



und hieraus folgt eine bemerkenswerthe Darstellung von Wurzeln 

 der Theilungsgleichung durch die der Modulargleichung: 



