vom 19. Juli 1875. 503 



^ . 4.rsK-^2sK'i . 2sK , ^ w ,^^ 



n sin am , n sin am- — (s=l,2,..4(?i— 1)) 



s n s n 



und also auch jeder Quotient 



sich als rationale Function der Grössen 



.J >2 ^2 



2K 

 ausdrücken lässt. Die Formel III ergiebt hiernach sin" am — als 



n 



rationale Function von 



e^ , ^% A% 4 , >.? , ... Xl_, 

 dargestellt, und zwar ist dieselbe in Bezug auf die letzten n Grös- 

 sen A^ cyklisch, wie aus den algebraischen Eigenschaften der Mo- 

 dulargleichung vorauszusehen war. Dass eine solche Darstellung 

 möglich ist, hat schon Jacob i im Crelle'schen Journal Bd. 4 

 pag. 193 Art. VI erwähnt und in einem seiner Briefe an Legen- 

 dre (Borchardt's Journal Bd. 80 pag. 257) als bemerkenswerth 

 hervorgehoben, ohne jedoch irgend eine Andeutung über die Her- 

 leitungsweise beizufügen. Dass an beiden citirten Orten sin am 

 selbst steht, muss auf einem Versehen beruhen; denn es ist klar, 

 dass nur das Quadrat von sin am als rationale Function der Mo- 

 duln ausdrückbar ist, da der Affect der Modulargleichung bekannt- 

 lich für eine Primzahl n von der Ordnung ^n(n^ — l) ist, und also 

 die Ordnung jeder algebraischen Function von ^c, die eine rationale 

 Function der (n + l) Moduln X ist, nur ein Theiler von ^n(n^ — l) 

 sein kann. 



Die Existenz einer Abel 'sehen Gleichung ?iten Grades für 



2K'i 



sin am- , deren Coefficienten rationale Functionen von oo^^^ und 



n 



2K 

 sin am— sind, führt unmittelbar zum Affect der Theilungsgleichung 

 n 



oder des primitiven Factors derselben, welcher nur alle diejenigen 



"Wurzeln 



4:rK-\-2sK'i 

 Sin am 



n 



enthält, bei denen nicht alle drei Zahlen n, r, s einen gemeinsa- 

 men Theiler haben. Die Anzahl dieser Wurzeln ist nämlich, wenn 

 sämmtliche Primfactoren von n mit p bezeichnet werden. 



