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taire; le resultat de M. Hilbert consiste a se passer de cette derniere, c'est- 



a-dire a faire jouer a la « parametrix » le role habituellement devolu a la 



solution elementaire elle-meme. En realite, les deux questions n'en font 



qu'une et l'analyse d'E.-Elia Levi est, au fond, identique a celle de Hilbert. 



Dans les deux cas, le probleme est ramene a une equation integrale de 



Fredholm. 



Cette methode ne s'applique pas directement au cas hyperbolique. Une 

 difficulte nouvelle se presente alors; car Pexpression que Ton peut essayer 

 de substituer a la solution elementaire doit posseder les memes proprietes 

 qu'elle, non seulement au pole, mais le long de toute une hypersurface, le 

 conoide caracteristique qui a pour sornmet ce point. 



D'autre part, puisque la methode a laquelle nousvenons de faire allusion 

 est toujours, au fond, une methode d'integration, elle introduira forcement, 

 sous une forme ou sous une autre, si le nombre n des variables indepen- 

 dantes est impair, l'emploi d'un symbole special d'integration (la partie 

 finie d'une integrale infinie) auquel la theorie des equations integrales ne 

 s'appliquerait pas en l'etat actuel de la Science. 



Je suis arrive a resoudre le double probleme ainsi pose en utilisant, 

 comme dans mon Memoire precedent {Acta math., t. 31), les relations qui 

 existent entre les cas de n pair et de n impair. 

 I. Soientdonc 



une equation a un nombre pair n = -in i de variables independantes ; 



(C) g(r) = o 



son adjointe. Je considererai, en introduisant une variable supplemen- 



taire z 9 l'equation h^ + i variables independantes 



(E') *i(«) = ^(«)-^=/(*i *.) 



dont Tadjointe est 



Toutes ces equations sont supposees appartenir au type hyperbolique 

 normal, c'est-a-dire que la forme caracteristique 



