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2. Cela pose, soit (probleme de Gauchy) a calculer la solution u de (E) 

 telle que u et j- prennent sur une hypersurface donnee S des valeurs 

 donnees, la surface S etant orientee de maniere a couper tout conoide 

 caracteristique suivant une variete fermee (cas du probleme inlerieur) et v 

 designant la conormale ou transversale a S. Considerons (cf. Acta, p. 371) 

 ce probleme comme relatif a (E'). La fonnule (38) (p. 357) du meme 

 Memoire devra dans ces conditions, lorsqu'on y remplacera v par v' , etre 

 modifiee en raison du fait que (j t {v) n'est pas nul, savoirparl'addition d'un 

 termc f- • • Cu.q K (?) dx { ... dx n dz = p... f^= dx t ... dx n dz (terme 



pour lequel I'intervention du symbole n'est pas necessaire). 



Si, maintenant, nous repassons de Tespace a in K -h 1 a l'espace a in { di- 

 mensions, en effectuant Fintegration par rapport a s, nous trouverons 

 evidemment 

 (1) ±^-11(0,, ...,« rt ) = H + ,r (... fu^'d^...dx n 



"«/-{■ 



en designant par H le second membre de la formule (62) (p. 378) du 

 Memoire des Acta et les autres notations etant celles de ce Memoire (de 

 sorte que le coefficient de u au premier membre est purement numerique). 

 V equation (1) est une equation integrate de seconde espece a noyau borne , 

 admettant sans difficulte I'application des methodes classiques. E!le appar- 

 tient meme, en raison de la maniere dont le domaine d'integralion depend 

 de «,, «.,, ...., a n , au type de Volterra et en possede les proprietes au point 

 de vue de la convergence. 



3. Du meme coup se trouve resolue Tequation integrale equivalente 

 (d'apres ce qui precede ) 



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