SEANCE DU 19 JANVIER I920. l53 



[formule (38) du Memoire des Acta math., modifiee par l'addition du der- 

 nier terme du second membrej. 



Cette equation (i ; ) permet d'efiectuer ici la synthese de la solution, pour 

 laquelle les methodes que j'avais indiquees precedemment ne suffisent plus, 

 et de demontrer, par consequent, que le probleme de Cauchy est resolu (au 

 inoins pour l'equation a un nombre pair de variables). C'est l'analogue du 

 resuitat de M. Hilbert. 



Maisil est aise de passer de la au resuitat qui correspond a celui de E.-E. 

 Levi. La solution de (1) s'ecrit, par Temploi des formules classiques, sous 

 forme d'une somme d'integrales portant respectivement sur les diverses 

 donnees u SJ (-~) /et dont une seule est 2n"" lc . Lc coefficient de / dans 

 cette integrate 2/?" ple fournit le dernier coefficient Y de la solution rlcineu- 

 taire (les autres etant W , ..., W ni _ 2 ). 



On peut egalement former directement V en prenantpour S un conoide 

 caracteristique. La resolution du probleme aux limites correspondant fait 

 connaitre V comme il est explique a la page 554 du Memoire cite des 

 Annales de VEcole Normale superieure. 



Enfin, du cas de n = in n il est aise de descendre a n — in, — 1, de sorte 

 que la question est resolue quel que soit n. 



4. Dans les raisonnements qui precedent, comme dans la solution du 

 probleme de Cauchy, telle que MM. Volterra, Tedone, Coulon, d'Adhemar 

 et nous-meme l'avons fournie, il est necessaire de supposer pour les fonc- 

 tions sur lesquelles on opere, non seulement Texistence des derivees pre- 

 miere et seconde qui figurent dans l'equation, mais celle de derivees 

 dWdre croissant avec n et superieur a 2 des que n depasse 6. La forme 

 ineme des resultats obtenus fait prevoir que cette necessite n'est pas seule- 

 ment une consequence du mode de calcui employe, mais reside duns la 

 nature meme des choses. Mais il est aise de faire ressortir ce fait en toute 

 rigueur. LY'xamen de la formule (11), (12) du Memoire de M. Tedone 

 {Annali di Matematica, 3 e serie, 1898, t. I, p. 5), relative a Tequation 



(3) d^_*u. <Pu__ o 



dx\ dx\ dx\ x ~ ' 



montre immediatement que son second membre est derivable m — 1 

 (n — 2 = in, — 2 dans notre notation) fois par rapport a la variable t ! (=x n ), 

 une conclusion semblable s'appliquant aisementa la formule suivante (12) 

 (cas de n impair) : autrement dit, si la solution existe, les derivations qui 

 figurent aux formules (i3), (i) (Ibid., p. 6) ont certainement un sens. 



Si, en particulier (p. 12 et suiv. du Memoire de M. Tedone), on suppose 



