SEANCE DU 19 JANVIER 1920. 1 65 



de rinfini, sont de la forme x 2 4- mx 4- developpement en puissances de x~ h 

 et (q + vj, \ogx)x~ 2 , 011 Y], = 6/w(tw 3 — 1), et 011 q est le parametre d'inte- 

 gration (que j'ai appele ailleurs G). 



Pour m = q = o, la fonction z presente quatre points critiques, x, = o, 

 # 2 = e r v / 4, ^ 3 = ^4, x k = e^ ^4. A partir d'un point # rejete a Tinfini 

 sur l'axe reel negatif, decrivons un circuit ferme I, de sens negatif 

 enveloppant x { eix 2 et un circuit ferme I\ de sens positif enveloppant x { 

 et x r , . Les memes circuits definissent, pour ( m | et | q | petits, deux fonctions 



i(7) = ?- 



nf *dx; ^{qj=q + lm^st 



Suivons ces memes fonctions en laissant 7/2 fixe et faisant varier q dans tout le 

 plan a partir deo, d'abord en ligne droite. L'etude resumee dans mes Notes 

 anterieures montre que, pour une telle variation de q, on ne rencontrera que 

 deux singularites de -^, (savoir (') q a voisin ( 2 ) de -e 3 et q y voisin de -J? 



deux singularites de ^ 2 (savoir ^3 voisin de -e ! et q Y L deux singularites 

 de ty~ i] fonction inverse de ty t (savoir q\ voisin de q a et q! ( voisin de q y ), 

 deux singularites de ty™ (savoir q\ voisin de q$ et q* voisin de q Y ). Le 

 point q y est reel positif, tandis que q a et q^ q\ et q\, q\ et q\ sont deux a 

 deux imaginaires conjugues. Plus precisement on a q\ — ql = ancY), 

 (q\ est au-dessus de l'axe reel). 



Appelons oq^^c le demi-axe positif reel du plan q et o,<yjco, o 2 y*oo, ses 

 transformees par les substitutions 



suivies comme ii a ete dit a partir de q = o. Tracons d'autre part les seg- 

 ments oq a , oq$, que les memes substitutions transforment respectivement 

 en °\ f l\ et o,q^ o s q§ et o. x q\. %\\m\ est petit, nous sommes surs que les 

 lignes o 2 y*oo et o. x q^ approximativement rectilignes, sont tout entieres au- 

 dessus de l'axe reel et ne se coupent ni elles-memes, ni entre elles; elles 



(') Les points q affectes respeclivemenl des indices a, (3, 7 sont ceux pour lesquels 



le contour d'integration X traverse x = e * , x = e 3 , x = 1 . 



(*) Si I ml est petit. Nous avons suppose \m\ petit dans le present exemple pour 



pouvoir determiner facilement la situation approximative des lignesdefiniesci-d- ?ssus. 



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