sont svmelriques de o { q!,x et o^qp par rapport a faxe reel; o s q\ et o 2 ^sont 

 egalementsymetriques et voisines de droites. — Cela pose, appelons F_,, 

 F_._, les champs obtenus en coupant le plan q respectivement par les cou- 

 puresocy.Jo,r/i et ^q^o.q'y, appelons F, et F a les champs exterieurs aux 

 lignes fermees scoq a o 3 q*cc et ccor/po,^.' cc; et considerons les fonctions -| n 

 ■J/,, 6, ' , ]c" respectivement dans les champs F,, F 2 : j'ai ainsi, de chacune 

 (Telle*, tin element holomorphe que je designerai par 1 ]/,, ..., ^ l ~ ,) . J'appellerai 

 enfin (S,), ..., (S" 1 ) les substitutions [^,i,J, ..., [?>$2J» Pennies univo- 

 quement dans les champs indiques. (S,) transforme le champ F< en F_,, et 



(5 2 ) transforme F 2 en F_ 2 . 



Adjoignons, d'autre part, aux substitutions ainsi definies la substitution 



(5 3 ) = [q, q -h 2/7:7], I, univoque pour tout q ainsi que son inverse. 

 II resulte de notre etude que toutes les vakurs de q attachees a une meme 

 fonction z(x) (et, par consequent, toutes les substitutions du groupe que nous 

 aeons en rue) peuvent etre obtenues par multiplication ( ' ) des substitutions 

 (S,), (So), (S 3 ) et de leurs inverses (envisagees exclusivement dans les champs 

 indiques). 



(Sy') et (S;') sont definies pour touty, mais non (S,) et(S 2 ). Qu'arrive- 

 t-il done si, faisant varier q d'une maniere continue, nous entrons dans la 

 region A interieure a la frontiere de F< ? Nous constatons que, si nous 

 franchissons la ligne q^oq^, (S.) se change en (S,S,), produit defini pour 

 nous, car (S 2 ) operee sur un point de A nous fait sortir de A*, si nous 

 franchissons q v ~jz, (S 4 ) se change en (S0S; 1 ); si nous franchissons q*o 2 q*, 



(5 4 ) se change en (S;*S 4 ); si nous franchissons y*oo, (S 4 ) se change en 

 (S.; 1 ). Les nouvelles substitutions sont toutes definies si Ton part d'un point 

 de A. — On aura des transformations semblables si Ton fait franchir a q 

 une ou plusieurs frontieres quelconques des champs F 2 , ..., F_ 2 : toute 

 substitution affectee se transformera en une nouvelle combinaison des substitu- 

 tions fondamentales. 



En particulier, il resulte de nos conclusions que toutes les determinations 

 des fonctions ty (qui sont des fonctions presentant un nombre infini de 

 branches et de singularites) peuvent etre obtenues en formant, pour une 

 valeur quelconque de q, des combinaisons de (S,), . . ., (S~'). Ou encore : 

 il suffit de connaitre une branche (un element) de ^,, et une de i|/ 8J pour 



